Лекции Физика / Лекция 14.б-1

1

Лекция № 14

Элементы статистической физики.

Распределения Максвелла по составляющим скорости и по ее абсолютному значению. Нахождение характерных скоростей газовых молекул. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

В большом числе случаев знание одних средних значений физических вели- чин недостаточно. Например, знание среднего роста людей не позволяет пла- нировать выпуск одежды различных размеров. Надо знать приблизительное число людей, рост которых лежит в определенном интервале. Точно так же важно знать числа молекул, имеющих скорости, отличные от среднего значе- ния. Максвелл открыл новый тип физического закона – статистический и на- шел распределение молекул по скоростям.

Для описания поведения большой совокупности молекул Дж. Максвелл ввел понятие вероятности.

Скорость молекулы можно рассматривать как случайную величину, которая может принимать различные значения. Аналогия: при бросании игрального кубика может выпасть любое число очков от 1 до 6. Предсказать, какое число очков выпадет при данном бросании кубика нельзя. Но вероятность того, что выпадет, например, пять очков, можно определить.

Пусть произведено очень большое число испытаний – N (число бросаний кубика), N ′ – число испытаний с благоприятным исходом (т.е. выпадение пя- тёрки). Тогда вероятность данного события равна отношению числа случаев с благоприятным исходом к полному числу испытаний при условии, что это число сколь угодно велико:

P = lim N ′ .

N →∞ N

{Вероятность любого выбранного числа очков от 1 до 6 равна 1 .} 6

Далее, Максвелл допустил, что в газах в состоянии теплового равновесия существует некоторое распределение скоростей, не изменяющееся с течением времени. Это означает, что число молекул, имеющих скорости в заданном интервале значений, остается постоянным. И Максвелл нашел это распределение.

Исходные положения:

1)Газ состоит из большого числа N одинаковых молекул.

2)Температура газа постоянна (T = const ).

3)Молекулы газа совершают тепловое хаотическое движение.

4)Из-за хаотического движения молекул все направления движения равновероятны, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

5)На газ не действуют силовые поля.

3

Картина распределения точек, конечно, не является застывшей. С течением времени скорости молекул за счет столкновений меняются и, следовательно, меняется картина распределения точек в пространстве скоростей. Однако её изменение таково, что средняя плотность точек в любой области пространства скоростей со временем не будет изменяться, она остается одной и той же. Именно это и означает существование определенного статистического закона. Средней плотности соответствует наиболее вероятное распределение скоростей.

Пусть N - число точек в некотором малом объеме Dυx Dυ y Dυz про-

странства скоростей Оно равно:

DN = N × f (υx ,υ y ,υz )DυxDυ y Dυz ,

где N × f (υx ,υ y ,υz ) - средняя плотность точек в пространстве скоростей, N –

общее число молекул. Значит, N - число молекул, проекции скоростей которых лежат в интервалах значений от υx до (υx + υx ), от υ y до (υ y + υ y ), от

υx до (υz + υz ).

Вероятность того, что проекции скорости молекул лежат в заданном интервале скоростей, равна отношению числа молекул с данным значением скорости к полному числу молекул:

Функция f (υx ,υ y ,υz ) называется функцией распределения молекул по скоро-

стям и представляет собой плотность вероятности, т.е. вероятность, отнесенную к единичному объему пространства скоростей.

Здесь e ≈ 2,718 - основание натурального логарифма. Величина А – некоторая постоянная, не зависящая от скорости.

Таким образом, плотность точек, изображающих молекулы в пространстве скоростей, максимальна вблизи начала отсчета (υ = 0 ) и убывает с ростом υ . На рис.3 представлена зависимость функции распределения f от проекции υx при условии, что υ y и υz - любые. Функция распределения имеет колоколооб-

разную форму и называется кривой Гаусса.

4

Рис.3

Постоянную А находят из условия нормировки: вероятность, что скорость молекулы может принимать любые значения от нуля до бесконечности должна равняться единице, то есть

(заменили υ → dυ ).

После интегрирования получаем (см. И.В. Савельев “ Курс общей физики”. Книга 3. Молекулярная физика и термодинамика. 2003, п.2.6 – стр.69):

Можно получить выражение для числа частиц в газе, обладающих заданной величиной скорости. Все молекулы, модули скоростей которых лежат в интервале от υ до (υ + υ ) располагаются в пространстве скоростей внутри ша-

рового слоя радиусом υ и толщиной υ (рис.4). Число молекул, находящихся внутри этого слоя, находится, если заменить в выражении (14.5) элемент объе-

ма υx υ y υz на объем шарового слоя 4π υ 2 υ .

5

Рис.4

Тогда среднее число молекул равно:

- закон Максвелла (1860г.) о распределении молекул по модулям скоростей.

Функция f (υ ) = dNυ , определяемая выражением (4.6), представляет со-

N dυ

бой плотность вероятности того, что частицы имеют заданное значение аб- солютной величины скорости.

Графически функция распределения представлена на рис.5. Видим, что функция f (υ) имеет максимум уже не в нуле, как плотность вероятности f (υx ,υy ,υz ). За счет роста объемов шаровых слоев с увеличением модулей ско-

ростей (υ 2 ) происходит смещение функции f (υ) . Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры.

6

Рис. 5

Функция f (υ) = 0 при υ = 0 и достигает максимума при некотором значении υВ , а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относи-

тельно максимума. Относительное число молекул dNυ , скорости которых ле-

N

жат в интервале dυ и равное f (υ)dυ, находится как площадь заштрихованной (или цветной) полоски основанием dυ и высотой f (υ), показанной на рис.5.

Вся площадь, ограниченная кривой f(υ) и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости, то получается единица.

Скорость, соответствующая максимуму плотности вероятности модулей скоростей молекул, называется наиболее вероятной (υВ ). Из рис.5 видим, что вероятность частиц иметь скорость, равную нулю, или, наоборот, иметь бесконечную скорость равна нулю. Следовательно, большинство молекул имеют скорости, близкие к наиболее вероятной.

Для нахождения наиболее вероятной скорости решим задачу на экстремум функции f (υ) , т.е. продифференцируем f (υ) по аргументу υ и приравняем результат нулю:

9

Опыт Ламмерта (1929 г.)

Этот опыт позволяет более точно определить закон распределения молекул по скоростям. Схема вакуумной установки приведена на рис.8.

Рис.8. Опыт Ламмерта

Молекулярный пучок, сформированный источником, проходя через щель, попадает в приемник. Между источником и приемником помещают два диска с прорезями, закрепленных на общей оси. При неподвижных дисках молекулы достигают приемника, проходя через прорези в обоих дисках.

Если ось привести во вращение, то приемника достигнут только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые затрачивают для пробега между дисками время, равное или кратное времени оборота диска. Другие же молекулы задерживаются вторым диском. Меняя угловую скорость вращения дисков и измеряя число молекул, попадающих в приемник, можно выявить закон распределения молекул по скоростям. Этот опыт также подтвердил справедливость максвелловского распределения молекул по скоростям.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают.

10

Барометрическая формула определяет зависимость давления p от высоты h: p = f (h). Найдем зависимость изменения давления газа с высотой.

Исходные положения:

1)Поле тяготения Земли однородно.

2)Температура постоянна

(при нормальных условиях атмосфера - изотермическая).

3) Масса всех молекул одинакова ( m01 = m0 N )

Вывод барометрической формулы:

Атмосферное давление на какой-либо высоте h обусловлено весом слоев газа, лежащих выше.

Пусть p - атмосферное давление на высоте h, (p+dp) - атмосферное давление на высоте h+dh.

Если dh>0, то dp<0, так как давление с высотой уменьшается (рис.9).

Рис.9

Разность давлений р и ( p + dp) равна гидростатическому давлению столба газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh и площадью с основанием равным единице. Это запишется в следующем виде:

p − ( p + dp) = ρ gdh ,

где ρ - плотность газа на высоте h, или

V RT

Подставим выражение (14.11) в формулу (14.10):

dp = − pM gdh RT

или

(14.12)

p RT

Возьмем неопределенный интеграл от левой и правой части уравнения (14.12):

∫ dpp = − MgRT ∫ dh ,

откуда