Лекции Физика / Лекция 09.б-1
.pdf1
Лекция № 9
Релятивистская механика.
Специальная теория относительности. Основные постулаты специальной теории относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца и следствия из них. Релятивистское выражение для импульса и энергии. Взаимосвязь массы и энергии.
Классическая механика Галилея-Ньютона прекрасно описывает движение макроскопических тел, движущихся с малыми скоростями. Однако в конце XIX века было установлено, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заряженных частиц оказалось, что их движение не подчиняется известным законам механики.
Также возникли затруднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения электромагнитных волн и в частности, света. Если источник и приемник света движутся друг относительно друга, то, согласно классической механике, измеренная скорость света должна зависеть от относительной скорости движения источника и приемника. Майкельсон и Морли (1896г.) провели оптический эксперимент с использованием интерферометра по обнаружению движения Земли относительно эфира – гипотетической среды с особенными физическими свойствами, рассматриваемой в физике того времени в качестве абсолютной инерциальной системы отчета. Орбитальное движение Земли вокруг Солнца должно приводить к так называемому «эфирному ветру», оказывающему влияние на скорость распространения световых волн. Опыт показал отсутствие какого-либо влияния гипотетического «эфирного ветра» на скорость света. К аналогичным результатам привели и другие многочис-
ленные эксперименты, показывающие равенство значений скорости света в двух движущихся относительно друг друга системах отсчета.
Данный вывод противоречит фундаментальному правилу сложения скоростей механики Галилея-Ньютона.
Одновременно было выявлено противоречие между классической теорией и уравнениями Максвелла, лежащими в основе описания света как электромагнитной волны. Для объяснения этих и некоторых других опытных данных необходимо было создать новую механику, которая, объясняя эти факты, включала в себя ньютоновскую механику как предельный случай малых скоростей. Это удалось сделать А. Эйнштейну, который пришел к выводу, что мирового эфира - особой среды, которая могла бы быть принята в качестве абсолютной системы отсчета, не существует. Существование постоянной скорости распространения света в вакууме соответствует электродинамической теории Максвелла.
Специальная теория относительности Эйнштейна (СТО, релятиви-
сткая теория, 1905 г.) - современная физическая теория пространства и време-
2
ни, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.
Основные постулаты СТО:
I. Принцип относительности.
Никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
II. Принцип инвариантности скорости света.
Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Первый постулат Эйнштейна является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы. Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, привели к отказу от представлений об абсолютности пространства и времени и установили новые простран- ственно-временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий в различных системах отсчета, движущихся друг относительно друга.
Преобразования Лоренца
Рассмотрим две инерциальные |
системы отсчета: К (с координатами |
|||
x, y, z ) и К' с координатами |
′ ′ |
′ |
, |
движущуюся относительно К (вдоль оси |
x , y , z |
|
ОХ ) со скоростью υ = const (рис.1).
Рис.1
3
Пусть в начальный момент времени t = t′ = 0 , когда начала координат О и О' совпадают, излучается световой импульс в положительном направлении осей ОХ и ОХ’. В соответствии со вторым постулатом Эйнштейна, скорость света в обеих системах одинакова и равна c . Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А, пройдя расстояние x = ct , то в системе К' координата светового импульса в момент достижения точки А равна
x′ = ct′ , т.е.
x - x′ = c(t - t′) ¹ υ t .
Так как x ¹ x′ (система К' перемещается по отношению к системе К), то t ¹ t′ , т.е. отсчет времени в системах К и К' различен - отсчет времени имеет относительный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т.е. t = t′ ).
Эйнштейн показал, что классические преобразования Галилея, описы-
вающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой:
K → K ′ |
K ′ → K |
|
x'= x − υ t |
x = x′ + υ t |
|
|
|
, |
y'= y |
y = y′ |
|
|
|
|
z'= z |
z = z′ |
|
|
|
|
t'= t |
t = t′ |
|
заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна.
Эти преобразования предложены Лоренцем в 1904г., еще до появления теории относительности, как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны.
K → K ′ |
|
|
|
|||||
|
x − υ t |
|
|
|
||||
x'= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 − β 2 |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
y'= y |
|
|
|
|||||
z'= z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
υ x c |
2 |
||||
t'= |
t − |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
1 − β |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
где β = υc .
K ′ → K |
|
|
|
|
||
|
x′ |
+ υ t′ |
|
|||
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − β 2 |
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
, |
(9.1) |
||
y = y′ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
z = z′ |
|
|
|
|
= t′ + υ x′ c2
t
1 − β 2
Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при υ . Это очевидно, так как если скорость движения системы К' относительно системы К равна υ , то скорость движения К относительно К' равна (− υ ).
4
Из преобразований Лоренца (9.1) вытекает также, что при малых скоростях (по
сравнению со скоростью c ), т.е. когда:
β = υc << 1,
они переходят в классические преобразования Галилея (принцип соответствия), которые являются предельным случаем преобразований Лоренца.
При β = υc > 1 выражения (9.1) для x, t, x′,t′ теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распространения света в вакууме, невозможно.
Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени.
Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматриваются неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие че-
тырехмерное пространство-время.
Вводя обозначение γ = |
1 |
|
, |
преобразования Лоренца можно привести к |
|
|
|
|
|||
|
1 - β 2 |
|
следующей симметричной форме:
x' |
|
γ |
|
|
|
|
|
y' |
|
0 |
|
|
|
= |
0 |
|
z' |
|
|
|
|
||
|
|
|
- βγ |
t' |
|
00
10
01
00
- βγ
0
0
γ
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
× |
|
(9.2) |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Относительность одновременности как одно из следствий преобразований Лоренца
Пусть в системе К в точках с координатами x1 и x2 в моменты времени t1
и |
|
|
|
|
′ |
и |
t2 происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты x1 |
||||||
x′ |
и моменты времени |
t′ |
и |
t′ |
. Если события в системе К происходят в одной |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
точке ( x1 = x2 ) и являются одновременными (t1 = t2 ), то согласно преобразова-
ниям Лоренца (9.1) |
x′ |
= x′ |
и |
t′ |
= t′ |
, т.е. эти события являются одновремен- |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
5
ными и пространственно cовпадающими для любой инерциальной системы отсчета.
Если события в системе К пространственно разобщены ( x1 ¹ x2 ), но одновременны (t1 = t2 ), то в системе К', в соответствии с преобразованиями Лоренца:
x' = |
x |
1 − υ t |
|
,x' = |
x |
2 − υ t |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
− β 2 |
2 |
|
1 |
− β 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
/ c2 , |
(9.3) |
||||||||||||||
t' = |
t − υ x / c2 |
,t' = |
|
t − υ x |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
1 − β 2 |
2 |
|
|
|
1 − β 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть x′ |
¹ x′ |
и t′ ¹ t′ , в системе К' эти события, оставаясь пространственно |
|||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
разобщенными, оказываются и неодновременными. |
|
|
|||
|
|
′ |
′ |
- x2 ), поэтому |
|
Знак разности t1 |
- t2 определяется знаком выражения υ (x1 |
||||
|
|
|
|
′ |
′ |
в различных точках системы отсчета К’ (при разных υ ) разность t1 |
- t2 будет |
различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому.
Сказанное не относится к причинно-следственным событиям. Порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Чтобы причинно-следственная связь имела объективный характер и не зависела от системы координат, в которой она рассматривается, необходимо, чтобы никакие материальные воздействия, осуществляющие физическую связь событий, происходящих в различных точках, не могли передаваться со скоростью, большей скорости света.
Для доказательства данного утверждения рассмотрим два события в покоящейся системе координат. Пусть событие в точке x1, происшедшее в момент
t1, является причиной события в точке x2 > x1 , |
происшедшего в момент t2 > t1 . |
||||||||||||||||||||||||
Скорость передачи «влияния» от точки x1 к точке x2 обозначим υin , тогда: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x1 |
= υin . |
|
|
|
|
|
|
|
(9.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 − t1 |
|
|
′ |
|
′ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В системе отсчета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
в моменты вре- |
|||||||
К‘ эти события произошли в точках x1 |
x2 |
||||||||||||||||||||||||
мени t′ |
и t′ |
. В соответствии с преобразованиями Лоренца, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
− t′ = |
t |
2 |
− t |
− (υ c2 )(x |
2 |
− x |
) |
|
|
(t |
2 |
− t ) |
|
|
υ |
υ |
|
|
|
|||
|
t |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
1 − |
|
|
. |
(9.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 − (υ c)2 |
|
|
|
|
1 − (υ c)2 |
c2 |
|
in |
|
|
|
|
|
6 |
Для того, чтобы |
′ |
′ |
(т.е. причина предшествовала следствию в системе от- |
t2 |
> t1 |
счета К’, необходимо, чтобы υin < υc c . Так как преобразования Лоренца допус-
кают для υ значения, сколь угодно близкие, но не превышающие скорость света, то окончательно:
υin ≤ c |
. |
(9.6) |
Т.е. передача физического влияния из одной точки в другую не может происходить со скоростью, превышающей скорость света. При этом условии причин-
но-следственная связь носит абсолютный характер: не существует систе-
мы координат, в которой причина и следствие меняются местами.
Хендрик Антон Лоренц (1853 - 1928) |
Альберт Эйнштейн (1879-1955) |
Выше была показана относительность понятия одновременности, следующая из преобразований Лоренца. Рассмотрим вопрос о длительности событий в различных системах отсчета.
Пусть в некоторой точке (с координатой x ), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний покоящихся часов в конце и начале события) τ 0 = t2 − t1 , где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события, τ 0 - собственное время.
Длительность же этого события в системе К' :
|
|
7 |
|
|
|
τ |
′ |
′ |
′ |
, |
(9.7) |
|
= t2 |
− t1 |
где в соответствии с преобразованиями Лоренца:
t' = |
t −υ x / c2 |
, t' = |
t |
2 |
−υ x / c |
2 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(9.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 − β 2 |
2 |
|
|
1 − β 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (9.8) в (9.7), получаем:
τ '= t' -t' = |
t |
2 − t1 |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
- β 2 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|||||||
или: |
|
|
|
τ 0 |
|
|
|
|
|
||
τ |
'= |
|
|
|
|
|
(9.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 − β 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
т.е. τ 0 < τ ', или длительность события, происходящего в некоторой точке,
наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.
Этот результат может быть еще истолкован cследующим образом: интервал времени τ ' , отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала τ 0 , отсчитанного по его часам.
Следовательно, часы, движущиеся относительно ИСО, идут медленнее по-
коящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий "неподвижная" и "движущаяся" системы соотношения для τ ' и τ 0 обратимы. Из (9.9) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме.
Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с π- мезонами. Среднее время жизни покоящихся π-мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) τ 0 » 2,2 ×10 −8 с. Следовательно, π-мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте порядка 30 км) и движущиеся со скоростью, близкой к скорости света, должны были бы проходить расстояния cτ 0 ≈ 6.6 м, т.е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности.
Объясняется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизни π -мезона:
|
8 |
|
|
||
τ '= |
|
τ 0 |
|
, |
|
|
|
|
|||
1 − β 2 |
|||||
|
|
|
а путь этих частиц в атмосфере:
υ ×τ '= c ×τ '= |
|
c ×τ 0 |
|
. |
|
|
|
|
|||
1 - β 2 |
|||||
|
|
|
Поскольку β ≈ 1, то υτ '>> cτ 0 .
Длина тела в различных системах отсчета
Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x' и покоящийся относительно системы К'.
Длина стержня в системе К' будет l0' = x2' − x1', где x1' и x2' - не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится.
l0' = x2' − x1' - собственная длина стержня.
Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ . Для этого необходимо измерить координаты его концов x1 и x2 в системе К в один и тот же момент времени t . Их разность и определяет длину стержня в системе К.
Используя преобразования Лоренца, получим:
l' |
= x' −x' = |
x |
2 −υ t |
− |
x |
1 −υ t |
|
= |
x2 − x1 |
|
. |
(9.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
2 |
1 |
|
|
1 − β 2 |
|
1 − β 2 |
|
|
1 − β 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
То есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l' |
= |
|
|
|
|
или l = l' × |
1 - β 2 . |
(9.11) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
1 |
− β 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (9.11).
Из выражения (9.11) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении дви-
жения в |
1 - β 2 |
раз, т.е. так называемое лоренцево сокращение длины тем |
|||||
больше, чем больше скорость движения. |
|||||||
|
Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца следует, что |
||||||
y' -y' = y |
2 |
- y |
и z' -z' = z |
2 |
- z , т.е. поперечные размеры тела не зависят от |
||
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
9
скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
Релятивистский закон сложения скоростей
Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью υ . Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z , а в системе К' в момент времени t′ - координатами x', y', z' , то:
ux = |
dx |
, |
uy = |
dy |
, |
uz = |
dz |
|
|||
|
|
|
dt |
||||||||
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
||||
u'x = |
dx', u'y = |
dy', |
u'z = |
dz'. |
|||||||
|
dt' |
|
dt' |
|
|
dt' |
Полученные выражения представляют собой соответственно проекции на оси x, y, z и x', y', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем
Ки К'.
Всоответствии с преобразованиями Лоренца:
|
dx'+υ dt' |
dt'+υ dx'/ c2 |
|||||
dx = |
|
|
|
, dy = dy', dz = dz', dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 - β 2 |
1 - β 2 |
Выполняя преобразования для dx , dy , dz , получим релятивистский закон dt dt dt
сложения скоростей:
K ′ → K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ux = |
|
|
|
|
u'x +υ |
, |
|
|||||||
1 |
+ |
υ × u' |
/ c2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u' |
|
|
1 - |
β 2 |
|
|
(9.12.1) |
|||||
u y = |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
1 |
+ |
υ × u' |
/ c2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
uz = |
|
u' |
|
|
1 - β 2 |
|
|
|
||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 +υ × u' |
/ c2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
10
|
|
|
K → K ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
u'x |
= |
|
|
|
|
ux -υ |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
-υ × ux / c2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u'y = |
|
|
u y |
|
1 - β 2 |
|
, |
|
|
|
(9.12.2) |
|||||||
|
|
|
1 |
-υ × ux / c2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u'z = |
|
|
uz |
1 - β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
-υ × ux / c2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если материальная точка движется параллельно оси x , то скорость u от- |
|||||||||||||||||||||
носительно системы К совпадает с ux , |
а скорость u′ относительно К' – с u′x . |
||||||||||||||||||||
Тогда закон сложения скоростей примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
K ′ → K |
|
|
|
|
|
|
|
K → K ′ |
|
|
|
|||||||||
|
u = |
u'+υ |
|
|
|
; |
|
|
|
u'= |
|
|
|
u -υ |
|
. |
(9.13) |
||||
|
1 + υ × u'/ c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 -υ × u / c2 |
|
|
|
Если скорости υ , u' и u малы по сравнению со скоростью света, то формулы (9.12) и (9.13) переходят в закон сложения скоростей в классической механике.
Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Действительно, если u'= c то формула (9.13) примет вид:
u = c + υ = c .
1 + υ × c / c2
Аналогично можно показать, что при u = c скорость u' также равна скорости света.
Полученный результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна. Если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света, то их результирующая скорость всегда меньше или равна скорости света. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света в ва-
кууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую не-
возможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная c / n , предельной величиной не является ( n - показатель преломления среды).