Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции Физика / Лекция 06.б-1

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
255.35 Кб
Скачать

1

Лекция № 6

Динамика вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Момент импульса материальной точки и системы материальных точек. Момент силы. Закон сохранения и изменения момента импульса. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное и вращательное движения. Уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (уравнение моментов).

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними: вместо силы рассматривается момент силы, роль массы играет момент инерции. Аналогом импульса тела является момент импульса тела относительно некоторой оси вращения.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А отно-

сительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

RR

R

R

]

(6.1)

L = [rp] = [rmυ

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;

p = mυ - импульс

материальной точки (рис.1).

Вектор L - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p .

Рис.1

2

Модуль вектора момента: L = rp × sin α = rmυ × sin α = pl , где α - угол между векторами r и p ; l - плечо вектора p относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скаляр-

ная величина, равная проекции на эту ось вектора L момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси z . Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z .

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростьюυi (рис.2). Скорость υi и импульс miυi перпендикулярны

этому радиусу, т.е. ri является плечом вектора

miυi . Поэтому можно записать,

что момент импульса отдельной частицы равен:

 

Liz = miυi ri

(6.2)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Рис.2

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов им-

пульса отдельных частиц:

n

Lz = miυi ri . i =1

3

Используя соотношение υi = ωri , получим:

L

z

=

n

m r 2ω = ω n

m r 2

= J

ω ,

(6.3)

 

 

i i

i i

z

 

 

 

 

 

i=1

 

i=1

 

 

 

 

т.е. момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен

произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцировав уравнение (6.3) по времени, получим:

 

dLz

= J z

dω

= J zε = M z ,

 

 

 

 

 

 

 

dt

dt

 

или

 

 

 

 

 

 

 

dLz

= M z

(6.4)

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

уравнение моментов - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная

момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

В общем случае имеет место векторное равенство:

 

dL

R

 

 

 

= M .

(6.5)

 

 

 

dt

 

 

В замкнутой системе момент внешних сил M = 0 и, соответственно,

dL

= 0 .

 

 

 

 

dt

Отсюда следует, что:

 

 

 

L = const .

(6.6)

Выражение (6.6) представляет собой закон сохранения момента импульса:

момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы,

связанный со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е.

с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, которая без трения

4

вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели, приводится во вращение с угловой скоростью ω1 (рис.3).

Рис.3

Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения возрастает.

Кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное

ивращательное движения

Вслучае плоского движения тела, например, цилиндра, скатывающегося

снаклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

 

mυ 2

J

C

ω 2

 

T =

C

+

 

 

,

(6.7)

2

 

2

 

 

 

 

 

где m - масса катящегося тела, υC -

скорость центра масс тела,

J C - момент

инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ω - угловая скорость тела.

Условие отсутствия проскальзывания катящегося тела:

υC =υR = ω × R ,

5

где R - радиус катящегося тела. В частности, для сплошного цилиндра, катящегося без проскальзывания,

T = 3J C ×ω 2 . 2

Сопоставление основных физических величин и уравнений, определяющих вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение

Поступательное движение

Вращательное движение

Масса m

 

R

 

 

Момент инерции J

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

dr

 

 

 

 

R

dϕ

Скорость υ =

 

 

 

 

 

Угловая скорость ω =

 

 

 

 

 

dtR

 

 

dtR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

dυ

 

 

 

 

R

 

dω

Ускорение a

=

 

 

 

 

 

Угловое ускорение ε =

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила F

 

 

 

 

 

 

Момент силы M или M z

 

R

 

 

R

 

 

Момент импульса Lz = J zω

Импульс

p = mυ

 

 

Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики

R

R

 

 

 

 

 

 

M z

= J zε

 

 

 

 

 

F = ma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

dL

R

 

 

 

 

 

F =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= M

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа dA = Fs ds

 

 

Работа dA = M z dϕ

 

 

 

 

 

Кинетическая энергия

mυ 2

Кинетическая энергия

J zω 2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Лекции Физика