Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции Физика / Лекция 05.б-1

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
225.78 Кб
Скачать

1

Лекция № 5

Механика твердого тела. Момент инерции твердого тела относительно оси. Теорема Штейнера. Тензор инерции. Главные оси инерции.

Момент инерции твердых тел разной формы.

Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек, составляющих систему, на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

n

 

J = mi ri2 .

(5.1)

i=1

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

J = r 2dm = ρ r 2dV ,

(5.2)

V

 

где ρ - плотность вещества, из которого состоит тело, интегрирование проводится по всему объему тела, а величина r есть функция положения элементарного объема с координатами x, y, z внутри объема тела. При условии однород-

ности распределения плотности вещества по объему тела:

 

 

J = ρ r 2 dV .

(5.3)

 

 

V

 

В качестве

примера

рассмотрим

 

вычисление момента

инерции

однородного

 

сплошного цилиндра высотой h и радиусом R

 

относительно его геометрической оси (рис.1).

 

Разобьем цилиндр на отдельные полые

 

концентрические цилиндры бесконечно малой

 

толщины dr с внутренним радиусом r и

 

внешним ( r + dr ).

 

 

 

Момент инерции каждого полого цилиндра:

 

dJ = r 2dm , при этом считаем, что расстояние

 

всех точек цилиндра от оси есть r , поскольку

Рис.1

dr << r ).

 

 

 

Если ρ - плотность материала, то масса элементарного цилиндра: dm = ρ × dV = ρ × rhdr ,

а его момент инерции:

dJ = 2πρr 3hdr .

2

Тогда момент инерции сплошного цилиндра:

R

1

 

1

 

 

J = dJ = 2πhρ r3dr =

πhR4 ρ =

mR2 ,

(5.4)

2

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

где m - масса цилиндра.

В таблице приведены значения моментов инерции некоторых однородных тел массой m .

 

 

Таблица

Тело

Положение оси

Момент

инерции

 

 

Полый тонкостенный

Ось симметрии

 

 

mR2

цилиндр радиусом R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сплошной цилиндр или

Ось симметрии

 

1

 

mR2

диск радиусом R

2

 

 

 

 

Прямой тонкий стер-

Ось перпендикулярна

 

1

 

 

стержню и проходит через

 

 

ml 2

жень длиной l

12

его середину

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямой тонкий стер-

Ось перпендикулярна

 

 

1

 

 

стержню и проходит через

 

 

ml 2

жень длиной l

3

его конец

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шар радиусом R

Ось проходит через

 

2

mR2

центр шара

5

 

 

 

 

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относи-

тельно произвольной оси равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через его центр масс С, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния между осями a :

J = JC + ma 2 .

(5.5)

Проверка теоремы Штейнера для прямого тонкого стержня длиной l : 3-я строка таблицы:

J C = 1 ml 2 - ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его

12

середину.

Вычисляем момент инерции по теореме Штейнера, когда ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его конец ( a = l2 ):

3

J = 1 ml 2 + 1 ml 2 = 1 ml 2

12 4 3 (сравнить со строкой 4 таблицы, где значение получено непосредственно интегрированием по длине стержня).

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z , проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2 ,..., mn , находящимися на расстояниях r1, r2 ,..., rn от оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости ri (рис.2).

Рис.2

Поскольку рассматривается абсолютно твердое тело, то угловая скорость вра-

щения этих объемов одинакова:

ω = υ1 = υ2 = ... = υn . r1 r2 rn

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

T n miυi2 .

вр =

i =1 2

4

Получим:

n

m ω 2

ω 2

n

 

J

ω 2

Tвр =

i

ri2 =

 

mi ri2

=

z

 

,

2

2

2

i =1

 

i =1

 

 

где J z - момент инерции тела относительно оси z . Таким образом, кинетиче-

ская энергия вращающегося тела:

Tвр =

J zω 2

 

(5.6)

2

 

 

Из сравнения формулы (5.6) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно, следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Формула (5.6) справедлива для тел, вра-

щающихся вокруг неподвижной оси.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физиче-

ская векторная величина, определяемая векторным произведением радиусвектора r , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F :

R

(5.7)

M = [rF ] .

Вектор M - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступа-

тельного движения правого винта при его вращении от r

к F (рис.3).

Модуль момента силы:

 

M = Fr sinα = Fl ,

(5.8)

где r sinα = l - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы, α - угол между r и F .

Рис.3

5

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная ве-

личина M z , равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис.4). Значение момента M z не зависит от выбора положения точки О на оси z .

Рис. 4

Если ось z совпадает с направлением вектора M , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

= R .

M z [rF ]z

Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r . α - угол между направлением силы F и радиус-вектором r .

Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dϕ точка приложения силы (т.В) проходит путь ds = rdϕ (рис.5).

Работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA = F sinα × rdϕ .

(5.9)

6

z

dϕ

 

 

F

r

 

 

B

α

F ×sin α

 

 

ds = r × dϕ

Рис.5

С учетом (5.8) последнее выражение можно записать: dA = M z dϕ ,

где F sinα × r = Fl = M z - момент силы относительно оси z . Таким образом, ра-

бота при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA = dT ,

то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J zω 2

 

 

 

 

 

dT = d

 

 

 

= J

z

ωdω ,

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

M z dϕ = J zωdω ; поскольку dϕ = ω × dt ,

 

получим:

 

dω

 

 

 

 

M z = J z

= J z ×ε

(5.10)

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

- уравнение динамики вращательного движения твердого тела относи-

тельно неподвижной оси.

Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

R

(5.11)

M = J ×ε ,

где J - главный момент инерции тела (момент инерции

относительно главной

оси).

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Лекции Физика