Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции Физика / Лекция 10.б-1

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
384.29 Кб
Скачать

1

Лекция № 10

Гармонические колебания и их характеристики.

Модель гармонического осциллятора. Уравнение свободных колебаний модельных систем (пружинный, математический и физический маятники). Сложение колебаний. Биения. Векторные диаграммы.

Колебательным движением, или просто колебаниями, называют всякое движение или изменение состояния, характеризуемое той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние.

С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятников и т. д. Оказывается, что существует общность закономерностей этих явлений и математических методов их исследования.

Примерами колебательного движения могут служить колебания маятников, струн, мембран телефонов, заряда и тока в колебательном контуре и др.

Колебания сопровождаются попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида. Колебательное движение называют периодическим, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Все виды колебаний можно классифицировать по следующим парамет-

рам:

по физической природе (механические и электромагнитные);

по характеру возникновения и существования (свободные, вынужденные, параметрические, автоколебания);

по характеру зависимости колеблющейся величины от времени (гармонические и негармонические).

Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются одни и те же физические закономерности; они описываются одними и теми же уравнениями, исследуются общими методами. В этом семестре мы рассмотрим механические колебания, т.е. повторяющиеся изменения положений и скоростей каких-либо тел или частей тел, происходящие при наличии упругих сил, силы тяжести, а также других сил.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

2

2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. В курсе математики доказывается теорема Фурье, согласно которой

любое сложное периодическое колебание представляет собой сумму простейших гармонических колебаний (гармоник).

Гармонические колебания величины x описываются уравнением следующего вида:

x = Acos(ω t + ϕ0 ) ,

(10.1)

где A - максимальное значение колеблющейся величины, называемое ампли-

тудой колебания,

ω- круговая или циклическая частота,

ϕ0 - начальная фаза колебаний в момент времени t = 0 ,

t + ϕ0 ) - фаза колебаний, определяющая значение колеблющейся величины в данный момент времени.

Поскольку cos(ωt + ϕ0 ) ≤ 1, то x принимает значения от − A до A .

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени T , называемый периодом колебаний,

за который фаза колебания получает приращение 2π , т.е. (ω t + ϕ0 ) + 2π = ω(t + T ) + ϕ0 ,

откуда

T =

.

(10.2)

 

 

ω

 

Величина, обратная периоду колебаний,

 

ν = 1 Т ,

(10.3)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется час-

тотой колебаний.

Сравнивая (10.2) и (10.3), получим взаимосвязь между линейной и круговой частотой:

ω = 2πν .

(10.4)

Единица измерения частоты – герц (Гц).

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины:

dx = υ = − Aω sin(ωt + ϕ0 ) = Aω cos(ωt + ϕ0 + π / 2) , dt

(10.5)

d

2 x

=

dυ

= a = − Aω 2 cos(ωt + ϕ0 ) = Aω 2 cos(ωt + ϕ0

+ π ) .

dt 2

dt

 

 

 

3

Видим, что фаза величины колебательной скорости υ отличается от фазы величины x = Acos(ωt + ϕ0 ) на π 2 , а фаза колебательного ускорения a отличается от фазы величины x = Acos(ωt + ϕ0 ) на π .

Из полученных выражений следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

2

d x + ω 2 x = 0 , (10.6) dt 2

частным решением которого является:

x = Acos(ω t + ϕ0 ) .

Колебательная система, описываемая уравнением вида (10.6), называется

гармоническим осциллятором (от английского слова oscillation — колеба-

ние). Колебание, которое происходит по закону cost) и характеризуется единственной частотой ω, называют гармоническим (поскольку гармоническое звуковое колебание соответствует одному тону).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.

1. Пружинный маятник - это груз массой m , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = −kx , где k - жесткость пружины (рис.1).

Рис.1

Уравнение движения маятника

m d 2 x = −kx dt2

или

4

 

 

d 2 x

+

kx

= 0 .

(10.7)

 

 

dt2 m

 

Решением уравнения (10.7) является функция (в чем можно убедиться при прямой подстановке):

x = Acos(ω0 t + ϕ0 ) .

Собственной частотой колебаний пружинного маятника является величи-

на:

ω0 = k . m

Данная формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука.

Потенциальная энергия пружинного маятника равна: Wp = kx2 / 2 .

2. Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

При отклонении физического маятника на угол α он будет совершать свободные гармонические колебания под действием силы тяжести, приложенной к центру масс (рис.2).

Рис.2

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол α , то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела можно записать:

5

M = Jε или M = J

d 2α

,

dt2

 

d 2α

 

 

 

F l = J

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

mglα = J

d 2α

,

(10.8)

 

 

 

 

dt2

 

 

где J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О;

ε - угловое ускорение: ε = d 2α ; dt 2

l - расстояние между точкой О и центром масс маятника;

Fτ = −mg sin α ≈ −mgα - возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Fτ и α всегда противоположны (см. рис.2);

sin α ≈ α при малых колебаниях маятника, т.е. при малых углах отклонения от положения равновесия;

M – момент возвращающей силы.

Уравнение (10.8) можно переписать в виде:

Jd 2α + mglα = 0 dt 2

или

d 2α

+

mgl

α = 0 ,

dt 2

 

 

J

что аналогично по виду уравнению (10.6), решение которого известно:

α = α0 cos(ω0t + ϕ0 ) .

(10.9)

Из полученного выражения следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 и периодом, равным:

T =

= 2π

J

= 2π

L

,

(10.10)

 

 

 

 

 

ω

mgl

g

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где L = J - приведенная длина физического маятника.

ml

6

Точка О’ на продолжении прямой ОС, отстоящей от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины, называется центром качаний физического маятника (см. рис.2).

Применяя теорему Штейнера, получим:

L =

J

=

J

C

+ ml 2

= l +

J

C

> l ,

(10.11)

ml

 

 

ml

ml

 

 

 

 

 

 

 

т.е. ОО’ всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О’ обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m , подвешенной на нерастяжимой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести (рис.3).

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Рис.3

Момент инерции математического маятника:

J = ml 2 ,

(10.12)

где l - длина математического маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив выражение (10.12) в формулу (10.10), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:

 

 

 

 

 

 

 

T = 2π

l

 

 

.

(10.13)

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Сравнивая формулы (10.13) и (10.10), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Энергия гармонического осциллятора

Кинетическая энергия (Wк )

В колебаниях любых систем происходит непрерывное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Кинетическая энергия системы, совершающей гармонические колебания, равна:

Wk = m ×υ 2 , 2

где скорость изменяется по гармоническому закону:

υ = -A ×ω × Sin(ωt + ϕ0 ).

После подстановки, имеем:

Wk =

m × A2

×ω 2 × Sin2 (ωt + ϕ

0

)

.

(10.14)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 α = 1 − Cos

Если учесть, что Sin ( ) , то кинетическая энергия будет равна: 2

 

 

 

m × A2 ×ω 2

 

1 - Cos(2ωt +

0

)

 

 

 

 

Wk

=

 

×

 

 

 

.

 

(10.15)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

Согласно формулам приведения: − Cosα = Cos(π + α ) , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wk

=

m × A2 ×ω 2

× [1 + Cos(2ωt + 0 + π ]

.

(10.16)

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: Wk физической системы совершает гармонические колебания с

круговой частотой 2ω , а величина

ее периодически изменяется

от 0 до

1 m × A2 ×ω 2 .

2

8

Потенциальная энергия (W p )

Любая физическая система совершает гармонические колебания под действием квазиупругой силы, потенциальную энергию можно найти по формуле потенциальной энергии упруго-деформированного тела:

 

 

 

 

 

 

 

W p =

kx

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. x = А× Cos(ωt + ϕ0 ), то подставляя, получаем:

 

 

 

 

 

W p =

k × А2 × Cos 2 (ωt + ϕ

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. ω 2 =

k

, то k = m ×ω 2 , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W p =

 

m ×ω 2

× А2 × Cos 2

(ωt + ϕ

0

)

 

.

(10.17)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 α = 1 + Cos

Если учесть, что Cos ( ) , то потенциальная энергия будет равна:

2

 

 

 

 

 

 

 

 

W p =

m ×ω 2 × A2

× [1 + Cos(2ωt + 0 ]

.

(10.18)

 

4

 

 

 

Вывод: W p физической системы совершает гармонические колебания с круго-

вой частотой 2ω , а величина ее периодически изменяется от 0 до 1 m ×ω 2 × A2 . 2

Полная энергия гармонических колебаний (W )

По определению полная механическая энергия системы равна алгебраической сумме кинетической и потенциальной энергий:

 

 

 

 

 

 

 

W = Wk + W p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. Wk =

m × A2

×ω 2 × Sin2

(ωt + ϕ

0

)

 

 

 

 

W p =

m ×ω 2

× А2 × Cos 2 (ωt + ϕ

0

)

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

× Sin2 (ωt + ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W =

m × A2 ×ω 2

0

)

+

m ×ω 2

× А2

× Cos 2 (ωt + ϕ

0

)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W =

m × A2

×ω 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.19)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: W механической системы прямо пропорциональна квадрату собственной частоты и квадрату амплитуды колебаний и не зависит от времени.

9

Автоколебания

Наиболее сложным видом колебаний являются автоколебания. Автоколебательной называется система, совершающая незатухающие колебания за счет действия источника энергии, не обладающего колебательными свойствами. Например, механические часы, анкерный механизм которых обеспечивает положительную обратную связь постоянного источника энергии (гиря) с маятником (рис.4).

Любая автоколебательная система состоит из четырех частей (рис.5):

а) колебательной системы;

б) источника энергии, компенсирующего потери энергии; Рис.4 в) клапана – устройства, регулирующего поступление энергии в колебательную систему;

г) обратной связи — основного признака автоколебательной системы – устройства для обратного воздействия автоколебательной системы на клапан. Положительная обратная связь "раскачивает", возбуждает систему, отрицательная — возвращает систему в исходное положение.

Рис.5

Наиболее известной автоколебательной системой являются часы с маятником, а также электрические звонки, зуммеры, паровые машины и двигатели внутреннего сгорания. Автоколебания совершают струны под действием смычка (скрипка, виолончель), воздушные столбы в трубках (духовые музыкальные инструменты), голосовые связки при разговоре или пении.

Гармонические колебания могут быть представлены графически с использованием метода векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x , под углом ϕ , равным начальной фазе колебаний, от-

кладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде A рассматриваемого колебания (рис.6). Если этот вектор привести во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью ω0 , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от − A до A , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону:

10

 

s = A cos(ω0t + ϕ) .

(10.20)

Рис.6

Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора длиной A , отложенного из произвольной точки оси под углом ϕ , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω0 вокруг этой точки.

Кроме того, уравнение гармонического колебания (10.20) можно запи-

сать в комплексной форме (через формулу Эйлера: eiα = cosα + i sin α ):

~

= Ae

i(ω0t )

.

(10.21)

s

 

Вещественная часть выражения (10.21) представляет собой гармоническое колебание s :

~

(10.22)

Re(s ) = A cos(ω0t + ϕ ) = s .

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах. Тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

x1 = A1 cos (ω0t + ϕ1)

x2 = A2 cos (ω0t + ϕ2 ).

Воспользуемся методом векторных диаграмм и построим вектор вующий результирующему колебанию (рис.7).

(10.23)

А, соответст-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Лекции Физика