Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции Физика / Лекция 12.б-1

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
284.16 Кб
Скачать

1

Лекция № 12

Волны, их основные типы и характеристики.

Уравнение монохроматической бегущей волны. Принцип суперпозиции волн. Явление интерференции. Стоячие волны. Звуковые волны. Эффект Доплера в акустике.

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной).

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы,

является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выде-

ляются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Поперечными являются, например, колебания в струнах, оболочках, электромагнитные волны. Звук в газах и жидкостях относится к продольным волнам. В твердых телах звуковая волна имеет сложную структуру, так как могут распространяться как продольные, так и поперечные волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, сопротивляющихся деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться только в средах, способных сопротивляться деформации сдвига, т.е. в твердых телах, в жидкостях наблюдается быстрое затухание поперечных волн; в жидкостях и газах возникают только продольные волны.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

На рис.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью υ вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смеще-

2

нием ξ частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t.

Рис.1

Приведенный график функции ξ(x, t) похож на график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис. 1). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

λ = υT

или, учитывая, что T = ν1 период,

ν - частота колебаний,

υ = λν .

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу

3

(плоская волна), или совокупность концентрических сфер (сферическая вол-

на).

Важной характеристикой волны является скорость её распространения.

При малых возмущениях скорость не зависит от амплитуды колебаний и зави-

сит только от свойств среды. Это утверждение справедливо лишь для моно-

хроматических волн (одночастотных).

Различают фазовую скорость – скорость распространия гармонической волны (описываемой функциями sin или cos) и групповую скорость – скорость распространения возмущения импульсного типа, скорость, с которой волновой пакет переносит энергию.

Уравнение плоской волны

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энер-

гию.

Для вывода уравнения бегущей волны - зависимости смещения колеблющейся частицы от координаты и времени - рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис.1).

В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение ξ (обобщенная координата) будет зависеть только от х и t, т. е. ξ = ξ(x,t).

На рис.1 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости x = 0 , описываются функцией

ξ (0,t) = Acosωt,

(12.1)

то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ , так как для прохождения волной

расстояния х требуется время τ = υx , где υ скорость распространения волны.

Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид:

 

x

 

ξ (x,t) = Acosω t

 

,

(12.2)

 

 

υ

 

откуда следует, что ξ(x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (23.2) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

 

x

ξ (x,t) = Acosω t +

 

.

 

 

υ

4

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид:

 

x

 

 

ξ (x,t) = Acos[ω t -

 

 

+ ϕo ],

(12.3)

 

 

υ

 

 

где A = const - амплитуда волны, ω - циклическая частота, ϕo - начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, —

t -

x

 

+ ϕo ]- фаза плоской волны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ

 

 

 

 

 

 

 

 

Для характеристики волн используется волновое число:

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

k =

 

 

=

 

= υ .

(12.4)

 

 

 

λ

υ ×T

Учитывая (23.4), уравнению (23.3) можно придать вид:

 

 

 

 

ξ (x,t) = Acos(ωt kx + ϕo ).

(12.5)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (12.5) только знаком члена kx.

Основываясь на формуле Эйлера, уравнение плоской волны в экспонен-

циальной форме можно записать в виде:

ξ (x,t) = A × eit kx o ) ,

где физический смысл имеет лишь действительная часть Re.

По определению волновой поверхности: фаза постоянна, т. е.

 

 

x

 

 

ω t -

 

 

+ ϕo

= const .

 

 

 

υ

 

 

Продифференцировав выражение (23.7) по t сократив на w, получим

откуда

dx =υ. dt

(12.6)

(12.7)

dt - dxυ = 0,

(12.8)

Следовательно, скорость υ распространения волны в уравнении (12.7) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой ско-

ростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны - волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

5

 

ξ (r,t) =

Ao

cos(ωt - kr + ϕo ),

(12.9)

 

 

r

 

где r - расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (12.9) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (12.4) вытекает, что фазовая скорость: υ = ω . k

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн,

называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных:

2ξ

+

2ξ

+

2ξ

=

 

1

×

2ξ

,

(12.10)

x2

y 2

z 2

 

t 2

 

 

 

υ 2

 

 

или

 

 

Dξ =

 

1

 

×

2ξ

,

(12.11)

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

υ 2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

где υ - фазовая скорость, D =

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

- оператор Лапласа.

 

x

2

y

2

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением уравнения (23.11) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (12.11) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (12.2)) и сферическая волна (см. (12.9)).

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение имеет вид:

2ξ

=

 

1

×

2ξ .

(12.12)

x2

υ 2

 

 

t 2

 

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это вытекающее из опыта утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

6

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Рассмотрим две волны, распространяющиеся от точечных источников O1 и О2, колеблющихся с одинаковой частотой и с постоянной разностью фаз (такие источники называются, как и порождаемые ими волны, когерентными) (рис.2).

Рис.2

Интерференция волн от двух когерентных источников сферических волн.

Определим результирующее колебание в какой-либо точке среды при условии, что оба колебания, вызываемые каждой из воли в отдельности, имеют одинаковое направление или очень близки по направлению. Для этого расстояние между источниками волн должно быть значительно меньше расстояния от источников до данной точки.

Пусть фазы колебаний от источников O1 и О2 равны соответственно

t + ϕ10 ) и (ω t + ϕ20 ) .

Тогда колебание в данной точке будет равно сумме колебаний:

ξ (r1,t) = A1o cos(ω t kr1 + ϕ10 ), r1

ξ (r2 ,t) = A2o cos(ω t kr2 + ϕ20 ), r2

7

где A1o и A2o - амплитуды волн в рассматриваемой точке, k - волновое число, r1 r2

r1 и r2 - расстояния от источников волн до данной точки. В точках, определяемых условием:

k (r1 r2 ) − (ϕ1o − ϕ2o ) = ±2πn ,

(n = 0,1,2,…),

(12.13)

колебания усиливают друг друга, и результирующее движение представляет собой гармоническое колебание частоты ω с амплитудой (А/r1 + А/r2).

В точках, для которых:

 

 

1

 

k (r1

r2 ) − (ϕ1o − ϕ2o ) = ±2π n +

 

 

(n = 0,1,2,…), (12.14)

 

 

 

2

 

колебания ослабляют друг друга, и результирующее движение является гармоническим колебанием с амплитудой, равной (А/r1 - А/r2). В частном случае, когда А/r1 = А/r2, колебания в этих точках будут отсутствовать. Условия (12.13) и (12.14) сводятся к тому, что

r1 – r 2 = const.

(12.15)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (12.15) есть уравне-

ние гиперболы с фокусами в точках O1 и О2. Таким образом, геометрические

места точек, в которых колебания усиливают или

 

ослабляют друг друга, представляют собой

 

семейство гипербол (рис.2).

 

Рис.2 отвечает случаю ϕ1o − ϕ2o = 0 .

 

Сплошными линиями указаны места, в которых

 

колебания усиливают друг друга, пунктирными -

 

места, в которых колебания ослабляют друг друга.

 

Волны, встретив на своем пути препятствие,

 

огибают его. Это явление называется дифракцией.

 

Возникновение дифракции можно объяснить с

 

помощью принципа Гюйгенса, которым устанав-

 

ливается способ построения фронта волны в

 

момент времени (t + t) по известному положению

 

фронта в момент времени t.

Рис.3

Согласно принципу Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волновое

движение, является центром вторичных сферических волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент (рис.3, среда предполагается неоднородной - скорость волны в нижней части рисунка больше, чем в верхней).

Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис.4). По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта является центром вторичных сферических волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими.

8

Рис.4

Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды (на рис.4 границы этой области показаны пунктиром).

Стоячие волны

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в резуль-

тате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях:

ξ1 = Аcos(ωt ), ξ2 = Аcos(ωt + ).

Складывая вместе оба уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получаем:

ξ = ξ1 + ξ2 = 2 Аcos cosωt.

Заменив волновое число k его значением λ , выражению для следующий вид:

 

 

x

 

ξ = 2

Аcos 2π

 

 

× cosωt.

 

 

 

λ

 

ξ можно придать

(12.16)

Уравнение (12.16) и есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда оказывается зависящей от х:

амплитуда =

2 А× cos 2π

x

 

.

λ

 

 

 

В точках, где

 

 

 

9

 

x

= ±nπ

(n = 0, 1, 2, …)

(12.17)

λ

 

 

 

 

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2A. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из условия (12.17) получаются значения координат пучностей:

х

пучн

= ±n λ

 

 

(n = 0, 1, 2, ...).

(12.18)

 

2

 

 

 

 

В точках, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= ± n +

1

π

(n = 0, 1, 2, ....),

(12.19)

λ

2

 

 

 

 

 

 

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют следующие значения:

 

1

λ

хузл = ± n +

 

 

(n = 0, 1, 2, ...). (12.20)

 

 

2

2

Из формул (12.18) и (12.20) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно λ/2. Пуч-

ности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (12.16). Множитель

2 Аcos 2π

x

 

при пе-

λ

 

 

 

 

реходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т. е.

точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одной и той же фазе).

Рис.5

На рис.5 показан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц. Итоговый результат понятен из рис.6.

10

Рис.6. Структура стоячей волны.

Очевидное отличие стоячей волны от бегущей заключается в двух мо-

ментах:

1)фаза стоячей волны одинакова для точек между двумя смежными узлами. У бегущей волны она повторяется через расстояние, равное длине волны;

2)амплитуда в стоячей волны изменяется в пределах полуволны (между узлами) от А до 2А, где А – амплитуда «основной» волны, бегущей волны. В бегущей же плоской волне при отсутствии затухания каждая точка среды проходит через максимальное для нее амплитудное отклонение.

Дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную энергию, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны, то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний поток энергии в любом сечении волны равен нулю – стоячая волна энергии в пространстве не переносит. И

в этом заключается третья особенность стоячей волны в сравнении с бегущей.

Колебания струны

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с за-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Лекции Физика