15 Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара

Явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости точек материальных объектов изменяются на конечные величины, называется ударом.

Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом возникают очень большие ускорения, а, следовательно, и очень большие силы. Эти силы действуют в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.

Силы, возникающие при ударе в течение малого промежутка времени, но достигающие при этом большой величины, так что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами.

Малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара. Импульсы ударных сил за время удара называются ударными импульсами.

Пусть дана МТ массы m, которая движется под действием обычной (неударной) силы . В момент, когда рассматриваемая МТ имеет скорость– скорость до удара, на нее начинает действовать ударная сила, действие которой прекращается в момент. Определим движение МТ под действием силиза время удара.

Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим:

,

где – скорость точки в моментпосле удара.

По теореме о среднем значении определенного интеграла можно написать:

,

где иесть средние значения силив некоторый промежуток времени. При этомявляется конечной величиной; ударная силаза время ударадостигает весьма большой величины(порядка). Поэтому произведениебудет пренебрежимо мало по сравнению с произведением, являющимся величиной конечной.

Итак, импульсами неударных сил за время удара будем пренебрегать по сравнению с импульсами ударных сил.

Окончательно получим:

. (1)

В рассматриваемой элементарной теории удара (1) принимается в качестве основного уравнения: Изменение количества движения МТ за время удара равно действующему на эту МТ ударному импульсу.

(1) играет такую же роль в теории удара, как второй закон динамики при изучении движений под действием обычных сил.

Проектируя векторное равенство (1) на координатные оси, получим три следующих уравнения:

(2)

Определим перемещение точки за время удара.

Так как , где– радиус-вектор, определяющий положение данной МТ относительно некоторой системы отсчета, то уравнение (1) можно записать следующим образом:

Проинтегрировав это равенство в пределах от до, найдем:

, где есть среднее значение ударного импульса за время удара. Учитывая при этом, чтоисуть величины конечные, а- весьма мало, приходим к выводу, чтобудет близко к нулю и, следовательно, за время удара перемещение МТпрактически равно нулю.

Таким образом, перемещением МТ за время удара можно пренебречь

16 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления

Прямым ударом МТ о неподвижную поверхность называют такой удар, при котором скорость МТ в начале удара направлена по нормали к поверхности в момент ее соприкосновения с МТ.

Рассмотрим прямой удар свободно падающей МТ массы m о неподвижную горизонтальную плоскость или о поверхность, нормаль к которой в точке удара вертикальна (рис.1).

Рис. 1

При таком ударе скорости МТ в начале и после удара направлены по нормали к поверхности в точке удара. Обозначим импульс этой ударной силы через . Действием же при ударе неударных сил (например, силы тяжести) пренебрегаем. Запишем основное уравнение теории удара:

в проекции на внешнюю нормаль On в точке удара:

.

При прямом ударе , поэтому

. (1)

Если скорость МТ в начале удара известна, то в уравнении (1) будут две неизвестные величины u и S, поэтому необходимо получить дополнительную зависимость между входящими в уравнение (1) величинами.

Характер явления удара заставляет отступить от гипотезы абсолютно твердого тела и учитывать деформацию поверхности.

Различают две фазы удара. В течение первой фазы поверхность деформируется до тех пор, пока скорость МТ не станет равной нулю; при этом происходит переход кинетической энергии МТ во внутреннюю потенциальную энергию поверхности. В течение второй фазы удара форма поверхности под действием внутренних сил упругости частично восстанавливается. За эту вторую фазу скорость МТ возрастает до определенной конечной величины. Одновременно происходит переход внутренней потенциальной энергии поверхности в кинетическую энергию МТ. В тот момент, когда МТ отделится от поверхности, явление удара заканчивается. Во второй фазе удара восстанавливается только часть первоначальной кинетической энергии, а другая преобразуется в деформацию поверхности и ее нагревание.

Таким образом, скорость МТ в конце удара будет составлять какую-то часть скорости в начале удара и может быть определена равенством:

. (2)

Отношение модулей скоростей шара после и до удара называется коэффициентом восстановления k при ударе.

Значение k для разных тел определяется опытным путем. Опыты показывают, что для различных тел k различно и изменяется от нуля до единицы (0 k1).

Удар, при котором имеет место зависимость (2) при , называютне вполне (частично) упругим ударом.

Из уравнений (1) и (2), зная m, v , k, найдем неизвестные величины u, S:

,

u = kv.

Если k = 0, то такой удар называют абсолютно неупругим, и в этом случае явление удара заканчивается одной первой фазой. Так как в этом случае u=0, то при абсолютно неупругом ударе МТ, ударившись о неподвижную поверхность, остается неподвижной, при этом

.

Если же k = 1, то такой удар называют абсолютно упругим. В этом случае u = v, то есть скорость МТ в конце удара равна по модулю ее скорости в начале удара. При этом

.

Косым ударом МТ массы m об абсолютно гладкую неподвижную поверхность, называется такой удар, при котором скорость МТ в начале удара образует с нормалью Оn к поверхности в точке удара какой-либо угол.

Пусть угол  – угол падения, а скорость в конце удара направлена к этой нормали под некоторым углом – угол отражения (рис. 2).

Рис. 2

В рассматриваемом случае действующей на МТ ударной силой, как в случае прямого удара, будет нормальная реакция поверхности. Обозначим импульс этой ударной силы через .

Проектируя обе части уравнения (8.1) на нормаль к поверхности в точке удара и касательную, проведенную в плоскости векторов и, получим

(3)

Из последнего равенства следует, что

т. е. касательная составляющая скорости МТ при ударе об идеальную гладкую поверхность не изменяется. В таком случае говорят об отсутствии ударного трения.

Так как влиянием трения пренебрегаем и, следовательно, удар происходит только по направлению нормали к поверхности в точке удара, то, как и при прямом ударе, запишем

. (4)

В результате из соотношений (3) и (4) можно найти модуль и направление скорости МТ в конце удара и ударный импульс, если m, v и k известны:

(5)

На рис. 2 видно, что

.

Поделив эти соотношения почленно и учтя, чтонаходим

,

т. е. в случае косого удара коэффициент восстановления есть отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения. При не вполне упругом ударе , и, следовательно,, т. е. угол падения меньше угла отражения.

В частном случае абсолютно упругого удара будем иметь, то есть угол падения равен углу отражения, а при абсолютно неупругом ударе.