- •1Дифференциальные уравнения поступательного движения, вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела.
- •2Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Уравнения метода кинетостатики
- •3 Определение динамических реакций в точках закрепления вращающегося тела.
- •4.Классификация связей. Виртуальные перемещения.
- •5 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений
- •6Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)
- •7Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия мс в обобщенных координатах
- •8. Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения мс в обобщенных координатах)
- •9Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты и циклические интегралы
- •10 Положение равновесия механической системы и ее устойчивость. Теорема Лагранжа-Дирихле. 2 теоремы Ляпунова о неустойчивости.
- •11. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы в малой окрестности устойчивого положения равновесия.
- •12. Дифференциальные уравнения малых движений механических систем около устойчивого положения равновесия. Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •13. Малые свободные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Главные колебания.
- •14. Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний
- •15 Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара
- •16 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления
- •17 Теоремы об изменении количества движения, о движении центра масс и об изменении кинетического момента мс при ударе
- •18Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии (теорема Карно) при прямом центральном ударе.
- •19Удар по вращающемуся телу. Определение реактивных ударных импульсов. Центр удара. Рассмотрим атт массы м, закрепленное в точке о подпятником, а в точке в – подшипником (рис1).
- •Учитывая, что в данном случае , а, из формулы
- •На оси декартовой системы координат Oxyz, получим проекции кинетического момента атт до удара на эти оси:
4.Классификация связей. Виртуальные перемещения.
МТ или МС называются свободными, если на движение МТ или точек МС (координаты, скорости) не наложено никаких ограничений. Ограничения, накладываемые на параметры движения МТ или точек МС, называются связями.
Аналитически они могут быть представлены в виде уравнений или неравенств, связывающих между собой координаты МТ или точек МС, их производные и время. Например, в декартовой системе координат эти условия в общем случае могут быть записаны в виде:
(1)
где – число связей,n – число точек МС (для МТ ).
Так как при движении МТ или МС координаты x, y, z и скорости являются функциями времени, то время в уравнения или неравенства связей может входить как неявно через аргументы этих функций, так и явно.
Связи называются стационарными, если они не зависят от времени, т. е. время не входит явно в уравнения или неравенства связей, и они имеют вид:
. (2)
Здесь и в дальнейшем в случае МС в соотношениях, описывающих связи, под х понимается совокупность x1, x2,…, xn, под у совокупность у1, у2,…,уn и т. д.
Связи называются нестационарными, если они зависят от времени, т. е. время входит явно в уравнения или неравенства связей, и они имеют вид (1).
Связи называются геометрическими, если ограничения накладываются только на положение МТ или точек МС, т. е. в уравнения или неравенства связей входят только координаты, и они имеют вид:
. (3)
Связи называются кинематическими, если ограничения накладываются на скорость МТ или скорости точек МС, т. е уравнения или неравенства связей содержат производные от координат по времени, и имеют вид (1).
Если уравнения кинематической связи могут быть проинтегрированы и заменены уравнениями, не содержащими скоростей, то такие связи называются голономными (дифференциальными интегрируемыми).
Связи называются удерживающими (неосвобождающими), если они не могут исчезать или появляться вновь, т. е. МТ или точки МС в процессе движения не могут покинуть связи, и они описываются уравнениями вида:
. (4)
Связи называются неудерживающимися (неосвобождающимися), если они могут исчезать или появляться вновь, т. е. МТ или точки МС в процессе движения могут покинуть связи, и они описываются соотношениями (1) в виде строгих или нестрогих неравенств.
Если материальная точка движется по закону или в проекциях на оси,,, то еедействительное перемещение МТ за бесконечно малый промежуток времени dt будет . Координаты вектора(его проекции на оси декартовой системы координат) определяются из соотношений:,,. То есть координаты МТ при действительном перемещении изменяются вследствие изменения аргументаt на величину dt, математически эти изменения выражаются дифференциалами радиуса вектора и его координат.
Любое бесконечно малое перемещение, которое может быть сообщено материальной точке из занимаемого ею в данный момент времени положения при сохранении наложенных на нее связей, называется ее виртуальным (возможным) перемещением.
В отличие от действительного перемещения, совершаемого МТ за определенный промежуток времени и обусловленного приложенными к ней силами, виртуальное перемещение на самом деле не реализуются и по сути своей является воображаемым. Изменение координат МТ при виртуальном перемещении не является следствием изменения аргумента в ее законе движения, как при действительном перемещении, а обусловлено изменением вида самой функции закона движения материальной точки.
Бесконечно малое изменение функции, происходящее вследствие изменения аргумента, выражается дифференциалом этой функции. Если же изменение функций происходит вследствие изменения вида самой функции, то такое изменение называется вариацией функций и обозначается символом . Поэтому, в отличие от действительного (), виртуальное перемещение МТ обозначается через(рис. 1), а его проекции на оси координат через.
Совокупность виртуальных перемещений точек МС, не нарушающих наложенных на МС связей, называется виртуальным перемещением МС.