- •1Дифференциальные уравнения поступательного движения, вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела.
- •2Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Уравнения метода кинетостатики
- •3 Определение динамических реакций в точках закрепления вращающегося тела.
- •4.Классификация связей. Виртуальные перемещения.
- •5 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений
- •6Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)
- •7Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия мс в обобщенных координатах
- •8. Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения мс в обобщенных координатах)
- •9Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты и циклические интегралы
- •10 Положение равновесия механической системы и ее устойчивость. Теорема Лагранжа-Дирихле. 2 теоремы Ляпунова о неустойчивости.
- •11. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы в малой окрестности устойчивого положения равновесия.
- •12. Дифференциальные уравнения малых движений механических систем около устойчивого положения равновесия. Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •13. Малые свободные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Главные колебания.
- •14. Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний
- •15 Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара
- •16 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления
- •17 Теоремы об изменении количества движения, о движении центра масс и об изменении кинетического момента мс при ударе
- •18Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии (теорема Карно) при прямом центральном ударе.
- •19Удар по вращающемуся телу. Определение реактивных ударных импульсов. Центр удара. Рассмотрим атт массы м, закрепленное в точке о подпятником, а в точке в – подшипником (рис1).
- •Учитывая, что в данном случае , а, из формулы
- •На оси декартовой системы координат Oxyz, получим проекции кинетического момента атт до удара на эти оси:
5 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений
Найдем сумму работ всех сил, действующих на механическую систему на некотором ее виртуальном перемещении. Обозначим ее через А. Сообщим точкам МС виртуальные перемещения и подсчитаем сумму элементарных работ, приложенных к этим МТ сил, на этих перемещениях. По аналогии с выражением суммы элементарных работ сил на действительных перемещениях работу этих сил на виртуальных перемещениях можно записать в виде:
. (1)
Сумма элементарных работ, которые могли бы совершить силы, приложенные к точкам МС на ее виртуальном перемещении, называется виртуальной работой.
С работой пассивных сил на виртуальных перемещениях связано понятие идеальных связей.
Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ реакций связей на любом виртуальном перемещении равняется нулю, т.е.
. (2)
Принцип виртуальных перемещений:
Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на МС, на любом виртуальном перемещении была равна нулю:
. (3)
Доказательство необходимости:
Для доказательства необходимости принципа предположим, что несвободная МС со стационарными, удерживающими и идеальными связями находится в положении равновесия. Тогда каждая точка, входящая в систему, находится в равновесии и, используя принцип освобождаемости от связей, можно записать:
(4)
Сообщив МТ, входящим в МС, виртуальные перемещения , умножим скалярно каждое из этих уравнений соответственно на, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:
.
Так как связи, наложенные на МС, идеальные, то выполняются условия (2) и из предыдущего соотношения получаем уравнение:
.
Доказательство достаточности:
Для доказательства достаточности применим метод от противного. Предположим, что при выполнении условия (3) система не находится в равновесии, и хотя бы одна из ее точек, например первая, пришла в движение. Тогда для этой точки условие типа равновесия выполняться не будет и вместо (4) получим.:
(5)
Сообщив точкам системы виртуальные перемещения , умножим каждое из уравнений (5) на соответствующее, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения почленно:
.
Так как связи, наложенные на МС, идеальные, то выполняются условия (2) и из предыдущего соотношения получаем неравенство:
,
а это противоречит условию (3). Следовательно, наше предположение о том, что при выполнении условия (3) МС не находится в равновесии, неверно, т.е. выполнение этого условия является и достаточным для равновесия МС. Что и требовалось доказать.
6Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)
Пользуясь принципом Даламбера, можно придать уравнениям движения форму уравнений равновесия, если к активным (заданным) и пассивным (реакции связей) силам присоединить силы инерции.
Пусть имеется МС с удерживающими и идеальными связями. Тогда для каждой МТ, входящей в МС, согласно принципу Даламбера можно записать:
(1)
Сообщив МТ, входящим в МС, виртуальные перемещения , умножим каждое из уравнений (1) на соответствующее, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:
. (2)
Так как связи, наложенные на систему, идеальные, то выполняются условия
(3)
и из (2) получаем общее уравнение динамики
. (4)
Общее уравнение динамики утверждает (принцип Даламбера-Лагранжа): При движении механической системы с удерживающими и идеальными связями, сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на точки системы и условно приложенных к ним сил инерции на любом виртуальном перемещении равна нулю.
Общее уравнение динамики можно представить также в виде:
(5)
Принцип виртуальных перемещений является частным случаем общего уравнения динамики (в случае равновесия механической системы сила инерции ).