17 Теоремы об изменении количества движения, о движении центра масс и об изменении кинетического момента мс при ударе

Рассмотрим МС, состоящую из n МТ, и выделим -ю МТ с массой .

Так же как при доказательстве общих теорем динамики МС, разделим все ударные импульсы, действующие на МТ, на внешние и внутренние. Тогда основное уравнение теории удара для -й МТ рассматриваемой МС примет вид:

, (1)

где и– скорости-й МТ соответственно в конце удара и в начале удара, – равнодействующая всех внешних ударных импульсов, приложенных к-й МТ, а – равнодействующая всех внутренних ударных импульсов, приложенных к той же МТ.

Составив такие уравнения для всех n МТ рассматриваемой МС и сложив их почленно, получим:

.

Введя следующие обозначения: – количество движения МС до удара,– количество движения МС после удара и учтя, что, так как внутренние ударные импульсы на основании третьего закона динамики - закона равенства действия и противодействия попарно равны по модулю и противоположны по направлению, получим:

. (2)

Теорема об изменении количества движения МС при ударе: Изменение количества движения МС за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на эту МС.

Поскольку количество движения МС равно произведению массы CМТ на скорость центра масс МС, то уравнению (2) можно придать иную форму:

, (3)

где М – масса МС, а – скорости центра масс МС в начале и в конце удара.

Уравнение (3) выражает теорему о движении центра масс МС при ударе: изменение при ударе количества движения центра масс МС, в котором сосредоточена вся ее масса, равно геометрической сумме импульсов всех внешних ударных сил, действующих на МС.

Снова рассмотрим основное уравнение теории удара (1) для -й точки.

Обозначим радиус-вектор -й точки МС относительно начала О инерциальной системы координат через .Поскольку положение-й точки за время удара не изменится, то за это время не изменится и ее радиус-вектор .

Составив такие же уравнения (1) для всех n МТ рассматриваемой МС, а затем умножив обе части равенств векторно слева на радиус-вектор и сложив их почленно, получим:

Введем следующие обозначения:

, – кинетические моменты МС относительно центра О соответственно до и после удара.

Так как внутренние ударные импульсы равны по модулю и противоположны по направлению, то геометрическая сумма их моментов относительно любого центра равна нулю. Поэтому полученное уравнение с учетом обозначений примет вид:

(4)

Уравнение (4) выражает теорему об изменении кинетического момента МС при ударе: изменение за время удара кинетического момента МС относительно какого-нибудь неподвижного центра равно геометрической сумме моментов импульсов внешних ударных сил, действующих на МС, относительно того же центра.