- •1Дифференциальные уравнения поступательного движения, вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела.
- •2Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Уравнения метода кинетостатики
- •3 Определение динамических реакций в точках закрепления вращающегося тела.
- •4.Классификация связей. Виртуальные перемещения.
- •5 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений
- •6Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)
- •7Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия мс в обобщенных координатах
- •8. Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения мс в обобщенных координатах)
- •9Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты и циклические интегралы
- •10 Положение равновесия механической системы и ее устойчивость. Теорема Лагранжа-Дирихле. 2 теоремы Ляпунова о неустойчивости.
- •11. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы в малой окрестности устойчивого положения равновесия.
- •12. Дифференциальные уравнения малых движений механических систем около устойчивого положения равновесия. Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •13. Малые свободные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Главные колебания.
- •14. Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний
- •15 Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара
- •16 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления
- •17 Теоремы об изменении количества движения, о движении центра масс и об изменении кинетического момента мс при ударе
- •18Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии (теорема Карно) при прямом центральном ударе.
- •19Удар по вращающемуся телу. Определение реактивных ударных импульсов. Центр удара. Рассмотрим атт массы м, закрепленное в точке о подпятником, а в точке в – подшипником (рис1).
- •Учитывая, что в данном случае , а, из формулы
- •На оси декартовой системы координат Oxyz, получим проекции кинетического момента атт до удара на эти оси:
7Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия мс в обобщенных координатах
Независимые параметры, достаточные для однозначного определения положения рассматриваемой механической системы, называются ее обобщенными координатами .
Число независимых параметров , однозначно определяющих положение системы в пространстве, называется числом ее степеней свободы.
Для каждой из МТ, входящей в МС, радиус-вектор можно выразить через обобщенные координаты, которые являются функциями времени:
=1,2,…,n (1)
Найдем вариацию радиуса-вектора -й точки системы:
. (2)
Подставляя эти значения в соотношение (1.11) и изменяя порядок суммирования, получим:
. (3)
Введем обозначения:
. (4)
Тогда выражение для работы сил на виртуальных перемещениях через обобщенные координаты примет вид:
. (5)
Множители Q1,Q2,…,Q, стоящие в формуле (6) перед вариациями обобщенных координат, называются обобщенными силами, отнесенными к соответствующим обобщенным координатам.
Возможны три способа нахождения обобщенных сил:
по формуле (4).
по формуле (5), определив обобщенные силы как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении суммы элементарных работ всех сил на виртуальных перемещениях. Учитывая, что вариации обобщенных координат независимы и могут принимать произвольные значения, дадим системе такое виртуальное перемещение, при котором вариации всех обобщенных координат, кроме одной, будут равны нулю, например, , (). Тогда из соотношения (5) находим, и так далее для всех обобщенных сил.
когда система находится в потенциальном силовом поле для проекций силы, приложенной к -й точке, можно записать:
,
где U(x,y,z) – силовая функция, а – потенциальная энергия. Подставляя эти значения в соотношения (5) и учитывая, что П зависит от обобщенных координат сложным образом, имеем:
.
Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах: Для равновесия МС, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы равнялись нулю:
.
Запишем выражение принципа виртуальных перемещений с учетом соотношения (5):
. (6)
Доказательство: Так как вариации обобщенных координат независимы и произвольны, то можно сообщить системе такое виртуальное перемещение, при котором вариации всех обобщенных координат, кроме одной, например первой, равны нулю
(7)
Подставляя (7) в (6) получим и так далее для всех обобщенных сил.
8. Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения мс в обобщенных координатах)
Используем следующую форму общего уравнения динамики:
. (1)
Пусть на механическую систему, имеющую степеней свободы, наложены голономные, удерживающие и идеальные связи. Введем в рассмотрение обобщенных координат q (=1,…,) и выразим через них радиус-вектор -й точки:
, . (2)
Варьируя это соотношение, получим:
, . (3)
Подставляя соотношение (3) в соотношение (1) и изменяя порядок суммирования, имеем:
. (4)
Так как все независимы и произвольны, то равенство (4) может выполняться только тогда, когда каждый из коэффициентов при равен нулю, поэтому находим:
. (5)
Эту систему уравнений запишем в виде:
. (6)
Правая часть соотношения (6) представляет собой обобщенную силу соответствующую обобщенной координате :
. (7)
Преобразуем выражение, входящее в левую часть соотношения (6) следующим образом:
(8)
Учитывая, что радиус-вектор -й МТ зависит от времени t сложным образом, получим из(2)следующее выражение для ее скорости:
, (9)
где – называется обобщенной скоростью ( = 1, 2,…, ).
Так как множители ( = 1, 2,…, ) зависят только от обобщенных координат и времени t (и не зависят от обобщенных скоростей), то дифференцируя правую и левую часть соотношения (9) по обобщенной скорости , приходим к соотношению:
. (10)
Найдем частную производную скорости по обобщенной координате, учитывая, что обобщенные координаты входят в правую часть равенства (9) через коэффициенты при обобщенных скоростях:
. (11)
Частная производная зависит от времениt явно и через обобщенные координаты , (). Вычисляя полную производную по времени от частной производной находим:
. (12)
Сравнивая правые части выражений (11) и (12), замечаем, что
. (13)
Возвращаясь к формуле (8) и подставляя в нее тождества (19) и (13), получаем:
. (14)
Учитывая, что
и
приведем последнее равенство к виду:
. (15)
Кинетическая энергия системы определяется формулой:
,
тогда (15) примет вид:
. (16)
Подставляя выражения (7) и (16) в уравнения (6), получим:
. (17)
(17)- уравнения Лагранжа второго рода. Число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы.
Кинетическая энергия системы при подстановке в эти уравнения должна быть предварительно выражена как функция обобщенных скоростей и координат . Это будет квадратичная функция обобщенных скоростей , в коэффициенты которой могут входить обобщенные координаты (в частных случаях кинетическая энергия может быть квадратичной функцией скоростей с постоянными коэффициентами). Обобщенные силы тоже могут быть в общем случае функциями обобщенных координат , и скоростей .Таким образом, в выражения , и могут входить обобщенные координаты и их производные . Поэтому в выражение войдут уже вторые производные . Следовательно, уравнения Лагранжа второго рода (3.18) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат .