1Дифференциальные уравнения поступательного движения, вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела.

Дифференциальные уравнения поступательного движения

Изучение кинематики поступательного движения АТТ показало, что исследование поступательного движения АТТ сводится к рассмотрению движения любой ее МТ. Взяв в качестве такой МТ центр масс С, на основании теоремы о движении центра масс можно записать дифференциальные уравнения поступательного движения АТТ в виде:

(1)

При движении центра масс АТТ в одной плоскости, например xOy, дифференциальные уравнения поступательного движения АТТ будут представлены двумя первыми уравнениями из соотношений (1).

Дифференциальное уравнение вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси

Пусть на АТТ, имеющую неподвижную ось вращения z и оси х и у жестко связанных с АТТ, действует система внешних сил . Использовав принцип освобождаемости, заменим действие связей в подпятнике О и подшипнике В силами реакции связии(рис1).

Чтобы получить дифференциальное уравнение вращательного движения АТТ относительно неподвижной оси Оz, применим теорему об изменении кинетического момента МС относительно оси вращения Oz:

.

Рис. 1

Так как реакции ипересекают ось z, то

и, следовательно,

. (2)

Найдем кинетический момент АТТ, вращающейся относительно неподвижной оси Оz (рис2)

.

Скорость -й точки АТТ, вращающейся относительно неподвижной оси, определится соотношением:

,

где  – угловая скорость АТТ, а h_ – расстояние от -й точки АТТ до оси z.

Момент количества движения -й МТ относительно оси Oz примет вид:

.

рис2

Тогда кинетический момент АТТ относительно неподвижной оси определится из соотношения:

здесь – момент инерции АТТ относительно осиOz.

Окончательно для кинетического момента АТТ, вращающейся относительно неподвижной оси, имеем:

.

Подставляя в уравнение (2) найденное значение кинетического момента АТТ, получим:

.

Для АТТ момент инерции J_Оz = const и, следовательно,

, ,. (3)

Уравнения (3) представляют собой различные формы записи уравнения вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси.

На основании третьего соотношения (3) можно сделать вывод, что при данном значении вращательного момента , чем больше– момент инерции АТТ относительно оси вращения, тем меньше – угловое ускорение АТТ и наоборот. Следовательно, момент инерции является мерой инертности АТТ при ее вращательном движении вокруг неподвижной оси Оz.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения АТТ

Предположим, что АТТ под действием системы внешних сил совершает плоскопараллельное движение, при котором все точки АТТ движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, в качестве которой примем координатную плоскость xOy (рис. 3).

Рис. 3

Из кинематики известно, что для определения положения АТТ, совершающего плоскопараллельное движение, достаточно задать положение какой-нибудь его МТ, принятой за полюс, и угол поворота АТТ вокруг оси, проходящей через этот полюс и перпендикулярной к неподвижной плоскости, параллельно которой происходит движение всех МТ рассматриваемого АТТ. Задачи динамики решаются проще, если за полюс взять центр масс С и определять положение АТТ координатами центра масс и углом поворота АТТ вокруг оси , проходящей через центр масс С и перпендикулярной к плоскости xOy.

Таким образом, для изучения плоскопараллельного движения свободного АТТ достаточно составить три дифференциальных уравнения, связывающих величины и с действующими на АТТ внешними силами. Для описания движения центра масс воспользуемся первыми двумя уравнениями движения центра масс (1). Добавляя к ним уравнения вида (3) относительно оси Сz, получаем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения АТТ:

(4)

Замечание: без доказательства приняли, что уравнение вращения относительно подвижной оси Oz сохраняет свой вид, как для случая вращения относительно неподвижной оси.