11. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы в малой окрестности устойчивого положения равновесия.

Запишем выражение кинетической энергии механической системы с s степенями свободы, на которую наложены голономные и стационарные связи

Так как итои кинетическая энергия является квадратичной формой обобщенных скоростей

где —обобщенные коэффициенты инерции, которые в общем случае являются функциями обобщенных координат. Эта квадратичная форма всегда определенно положительна, так как T 0.

Разложим коэффициенты инерции в степенной ряд в окрестности положения равновесия :

и подставим в выражение для кинетической энергии, сохраняя члены не выше второго порядка малости относительно и.

Полученное таким образом приближенное выражение кинетической энергии отличается от точного тем, что обобщенные коэффициенты инерции заменяются их значениями в положении равновесия (константы)

Для исследования устойчивости положения равновесия механической системы с несколькими степенями свободы разложим потенциальную энергию

П (q1, q2, ... , qs) в ряд в окрестности положения равновесия

Первое слагаемое равно нулю исходя из предположения о равенстве нулю потенциальной энергии в положении равновесия. Кроме того, равны нулю коэффициенты в линейных членах разложения из условия равновесия консервативной механической системы в обобщенных координатах. Тогда, с точностью до членов более высокого порядка малости, потенциальная энергия механической системы в окрестности положения равновесия может быть представлена

следующей определенно положительной квадратичной формой

- обобщенные коэффициенты жесткости.

12. Дифференциальные уравнения малых движений механических систем около устойчивого положения равновесия. Малые колебания системы с одной степенью свободы.

Рассмотрим движение консервативной механической системы с голономными, стационарными и идеальными связями около устойчивого положения равновесия . Для этого составим уравнения Лагранжа второго рода

Потенциальную и кинетическую энергии представим квадратичными формами по обобщенным координатам и обобщенным скоростям

Так как эти квадратичные формы определенно положительны (первая — из устойчивости положения равновесия; вторая — из определения кинетической энергии), то по теореме Сильвестра главные миноры матриц этих квадратичных форм больше нуля.

Подстановка этих выражений для Π и T в уравнения Лагранжа дает:

Полученная система дифференциальных уравнений описывает движение консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия.

Положение механической системы с одной степенью свободы однозначно определяется заданием одной обобщенной координаты . Вводя обозначения: и , из уравнений движения механической системы около устойчивого положения равновесия получим

Так как c > 0 и a > 0, то

- дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы, — циклическая частота колебаний.

Решение этого уравнения аналогично рассмотренному в случае прямолинейных колебаний материальной точки

q = A sin(kt + α).

Если на точки механической системы помимо потенциальных сил действуют силы сопротивления (диссипативные силы) и возмущающие силы, то при составлении уравнений движения необходимо вычислить соответствующие им обобщенные силы. В частном случае, если диссипативная обобщенная сила пропорциональна обобщенной скорости:

а обобщенная возмущающая сила периодически изменяется с течением вре-

мени

Q(t) = H sin pt,

то движение механической системы около устойчивого положения равновесия описывается дифференциальным уравнением:

где, как и в случае вынужденных колебаний материальной точки в среде с

сопротивлением, введены обозначения 2n = b/a и h = H/a.