9 Теорема об изменении кинетической энергии мт, работа силы

Умножив обе части основного закона динамики скалярно на, получим:

или, учитывая, что ,

. (1)

Так как , то, взяв дифференциал от обеих частей, получим:

.

Учтя, что масса постоянна, находим , и тогда соотношение (1) примет вид:

(2)

или

, (3)

где правые части соотношений (2), (3) представляют собой элементарную работу силы, действующей на МТ:

. (4)

Выражения (2) или (3) представляют первую дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии МТ.

Теорема: Дифференциал кинетической энергии МТ равняется элементарной работе силы, действующей на МТ.

Поделив соотношения или (2) или (3) на dt, получим вторую дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии МТ:

, (5)

где является мощностью силы, действующей на МТ.

Теорема: Производная по времени от кинетической энергии МТ равняется мощности силы, приложенной к МТ.

Если рассмотреть конечное перемещение МТ из одного положения (1), где ее скорость равна в другое положение (2), где ее скорость равна, то, беря от обеих частей равенства (3) соответствующие интегралы, получим:

. (6)

Соотношение (6) выражает теорему об изменении кинетической энергии МТ в конечной (интегральной) форме.

Теорема: Изменение кинетической энергии МТ на конечном перемещении равняется работе силы, действующей на МТ на том же перемещении.

В соотношении (6) правая часть представляет собой работу силы, действующей на МТ на конечном перемещении:

. (7)

Учитывая, что , т. е., преобразуем выражение (7)

. (8)

10 Внешние и внутренние силы, свойства внутренних сил. Дифференциальные уравнения движения смт

Пусть СМТ состоит из n МТ (В₁, В₂, …, В_n), массы которых соответственно m₁, m₂,…m_n.

В динамике СМТ вводится следующая классификация сил:

Внешними силами для данной СМТ называются силы, с которыми действуют на нее объекты, не входящие в рассматриваемую СМТ.

Внутренними силами для данной СМТ называются силы взаимодействия между МТ, входящими в рассматриваемую СМТ.

Обозначим через исоответственно равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на-ю МТ.

По закону равенства действия и противодействия внутренние силы, действующие на две произвольно выбранные МТ, входящие в СМТ, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны :

. (1)

Используя этот закон, получим два следующих свойства внутренних сил СМТ:

• главный вектор всех внутренних сил, действующих на СМТ, всегда равен нулю:

; (2)

• главный момент всех внутренних сил, действующих на СМТ, относительно произвольного центра всегда равен нулю:

. (3)

В справедливости соотношения (3) можно убедиться, подсчитав сумму моментов внутренних сил, приложенных к двум произвольно выбранным МТ, входящим в СМТ, относительно любого центра.