6 Колебательное движение мт в среде без сопротивления под действием гармонической возмущающей силы

В этом случаедифференциальное уравнение движения в проекции на ось Х примет вид:

, (1)

где .

Решение (1) имеет вид

, (2)

где ,а и  – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

В случае, когда частота возмущающей силы приближается к частоте собственных колебаний, амплитуда вынужденных колебаний b стремится к бесконечности и частное решение х₂ необходимо искать в другом виде.

При резонансе (частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний, р = ) дифференциальное уравнение движения примет вид:

. (3)

Ищем частное решение в виде:

.

Подставив его уравнение (3), получим систему двух уравнений, решение которой имеет вид:

.

Следовательно, общее решение при р =  будет:

. (4)

Значит в случае, когда движение МТ происходит в среде без сопротивления и частота возмущающей силы становится равной частоте собственных колебаний (p = ), амплитуда вынужденных колебаний с течением времени неограниченно возрастает

В случае малого сопротивления среды явление резонанса наступает при значениях вынужденной частоты р, близких к собственной частоте .

7 Теорема об изменении количества движения мт

Основной закон динамики можно представить и в виде:

(1)

Здесь – элементарный импульс силы, действующей на МТ.

Соотношение (1) выражает теорему об изменении количества движения МТ в дифференциальной форме.

Теорема: Дифференциал количества движения МТ равен элементарному импульсу силы, действующей на МТ.

Проинтегрировав соотношение (1) с учетом начальных условий: при t = 0 , получим этутеорему в конечной интегральной форме:

. (2)

В (2) называется импульсом силы за конечный промежуток времени:

. (3)

Теорема: Изменение количества движения МТ за конечный промежуток времени равно импульсу силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени.

Проектируя на оси декартовой системы координат равенство (3), получим эту теорему в скалярной форме:

,

,

,

где S_x, S_y, S_z – проекции импульса силы на оси декартовой системы координат.

Следствия: если =0, то, т. е. МТ движется таким образом, что ее скорость остается постоянной;

если F_x=0, то V_x = V_0х, т. е. МТ движется таким образом, что проекция ее скорости на ось х остается постоянной.

8. Теорема об изменении момента количества движения мт

Умножим векторно слева обе части основного закона динамики на радиус-вектор:

(1)

Преобразуем левую часть, представив ее в виде тождества:

(так как , то).

Соотношение (1) примет вид:

. (2)

Введя обозначение момента количества движения МТ относительно центра О через вектор и с учетом того, что правая часть есть момент силы относительно центра О , получим:

.(3)

Соотношение (3) выражает теорему об изменении момента количества движения МТ в векторной форме.

Теорема: Производная по времени от момента количества движения МТ относительно какого-либо центра равна моменту силы, действующей на МТ, относительно того же центра.

Проектируя равенство (3) на оси декартовой системы координат, получим эту теорему в скалярной форме:

,

, (4)

.

Следствия: если , то. МТ движется таким образом, что момент количества движения МТ остается постоянным (собой закон сохранения момента количества движения МТ);

если , то. МТ движется таким образом, что проекция момента количества движения МТ на ось х остается постоянной.