- •1.Законы (аксиомы) динамики
- •2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт. Две задачи динамики точки
- •3* Уравнение колебательного движения мт. Колебания при гармоническом возмущении в среде с линейным сопротивлением.
- •4 Свободное колебательное движение мт (в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы)
- •5 Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы
- •6 Колебательное движение мт в среде без сопротивления под действием гармонической возмущающей силы
- •7 Теорема об изменении количества движения мт
- •8. Теорема об изменении момента количества движения мт
- •9 Теорема об изменении кинетической энергии мт, работа силы
- •10 Внешние и внутренние силы, свойства внутренних сил. Дифференциальные уравнения движения смт
- •Дифференциальные уравнения движения смт
- •11 Центр масс смт. Моменты инерции смт
- •12 Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей – теорема Штейнера-Гюйгенса
- •13. Моменты инерции относительно пучка прямых, тензор инерции
- •15 Теорема об изменении количества движения смт
- •16Теорема о движении центра масс смт
- •17Теорема об изменении кинетического момента смт
- •18. Теорема об изменении кинетической энергии смт
- •19 Кинетическая энергия нмс в частных случаях движения. Теорема Кенига
- •20 Потенциальное силовое поле и силовая функция мт. Закон сохранения механической энергии
- •Закон сохранения механической энергии мт: При движении мт в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной.
- •21Дифференциальные уравнения поступательного движения, вращательного и плоскопараллельного движения нмс
- •22Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Уравнения метода кинетостатики
- •23 Определение динамических реакций в точках закрепления вращающегося тела.
- •24.Классификация связей. Виртуальные перемещения.
- •25 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений
- •26Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)
- •27Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия смт в обобщенных координатах
- •28. Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения смт в обобщенных координатах)
- •29Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты и циклические интегралы
- •30Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара
- •31 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления
- •32 Теоремы об изменении количества движения, о движении центра масс и об изменении кинетического момента смт при ударе
- •33Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии (теорема Карно) при прямом центральном ударе.
- •34Удар по вращающемуся телу. Определение реактивных ударных импульсов. Центр удара. Рассмотрим атт массы м, закрепленное в точке о подпятником, а в точке в – подшипником (рис1).
- •Учитывая, что в данном случае , а, из формулы
- •На оси декартовой системы координат Oxyz, получим проекции кинетического момента атт до удара на эти оси:
2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт. Две задачи динамики точки
Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной материальной точки. При этом для несвободной материальной точки ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости) силы пассивные (реакции связи).
Пусть – равнодействующая системы сил (активных и реакций), действующих на точку.
На основании второго закона динамики
(1)
с учетом соотношения, определяющего ускорение точки при векторном способе задания движения:
,
получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме:
. (2)
Спроектировав соотношение (1) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения, определяющие проекции ускорения на оси декартовой системы координат:
,,,
получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на эти оси:
(3)
Спроектировав соотношение (1) на оси естественного трехгранника () и использовав соотношения, определяющие формулы для ускорения точки при естественном способе задания движения:
, ,,
получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на оси естественного трехгранника :
(4)
Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения МТ в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).
С помощью уравнений (2)-(4) ставятся и решаются две основные задачи динамики МТ
Первая (прямая) задача динамики МТ: зная массу МТ и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на МТ силы.
Например, если заданы уравнения движения МТ в декартовой системе координат:
то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (3):
Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат.
Для несвободной МТ обычно необходимо еще, зная действующие на нее активные силы, определить реакции связи.
Вторая (обратная) задача динамики МТ: зная массу точки и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.
Для несвободной МТ обычно необходимо, зная массу МТ и действующие на нее активные силы, определить уравнения или кинематические параметры ее движения и реакции связи.
Силы, приложенные к точке, могут зависеть от времени, положения МТ в пространстве и от скорости ее движения, т. е.
.
Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (3) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени:
(5)
Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (5), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных:
(6)
где C, ( = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.
Продифференцировав соотношения (6) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси:
(7)
В зависимости от значений постоянных C, ( =1,2,…,6) уравнения (6) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил.
Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ.
Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости:
при t = 0 :
(8)
где – значения координат МТ и их производных в начальный момент времениt=0.
Используя начальные условия (8), формулы (7) и (6), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных:
(9)
Из системы (9) можно определить все шесть произвольных постоянных:
. ( = 1,2,…,6)
Подставляя найденные значения C, ( = 1,2,…,6) в уравнения движения (6), находим решения второй задачи динамики в виде закона движения точки.