- •1.Законы (аксиомы) динамики
- •2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт. Две задачи динамики точки
- •3* Уравнение колебательного движения мт. Колебания при гармоническом возмущении в среде с линейным сопротивлением.
- •4 Свободное колебательное движение мт (в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы)
- •5 Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы
- •6 Колебательное движение мт в среде без сопротивления под действием гармонической возмущающей силы
- •7 Теорема об изменении количества движения мт
- •8. Теорема об изменении момента количества движения мт
- •9 Теорема об изменении кинетической энергии мт, работа силы
- •10 Внешние и внутренние силы, свойства внутренних сил. Дифференциальные уравнения движения смт
- •Дифференциальные уравнения движения смт
- •11 Центр масс смт. Моменты инерции смт
- •12 Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей – теорема Штейнера-Гюйгенса
- •13. Моменты инерции относительно пучка прямых, тензор инерции
- •15 Теорема об изменении количества движения смт
- •16Теорема о движении центра масс смт
- •17Теорема об изменении кинетического момента смт
- •18. Теорема об изменении кинетической энергии смт
- •19 Кинетическая энергия нмс в частных случаях движения. Теорема Кенига
- •20 Потенциальное силовое поле и силовая функция мт. Закон сохранения механической энергии
- •Закон сохранения механической энергии мт: При движении мт в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной.
- •21Дифференциальные уравнения поступательного движения, вращательного и плоскопараллельного движения нмс
- •22Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Уравнения метода кинетостатики
- •23 Определение динамических реакций в точках закрепления вращающегося тела.
- •24.Классификация связей. Виртуальные перемещения.
- •25 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений
- •26Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)
- •27Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия смт в обобщенных координатах
- •28. Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения смт в обобщенных координатах)
- •29Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты и циклические интегралы
- •30Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара
- •31 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления
- •32 Теоремы об изменении количества движения, о движении центра масс и об изменении кинетического момента смт при ударе
- •33Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии (теорема Карно) при прямом центральном ударе.
- •34Удар по вращающемуся телу. Определение реактивных ударных импульсов. Центр удара. Рассмотрим атт массы м, закрепленное в точке о подпятником, а в точке в – подшипником (рис1).
- •Учитывая, что в данном случае , а, из формулы
- •На оси декартовой системы координат Oxyz, получим проекции кинетического момента атт до удара на эти оси:
31 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления
Определение: Прямым ударом МТ о неподвижную поверхность называют такой удар, при котором скорость МТ в начале удара направлена по нормали к поверхности в момент ее соприкосновения с МТ.
Рассмотрим прямой удар свободно падающей МТ массы m о неподвижную горизонтальную плоскость или о поверхность, нормаль к которой в точке удара вертикальна (рис.1).
Рис. 1
При таком ударе скорости МТ в начале и после удара направлены по нормали к поверхности в точке удара. Обозначим импульс этой ударной силы через . Действием же при ударе неударных сил (например,силы тяжести) пренебрегаем. Запишем основное уравнение теории удара:
в проекции на внешнюю нормаль On в точке удара:
.
При прямом ударе , поэтому
. (1)
Если скорость МТ в начале удара известна, то в уравнении (1) будут две неизвестные величины u и S, поэтому необходимо получить дополнительную зависимость между входящими в уравнение (1) величинами.
Характер явления удара заставляет отступить от гипотезы абсолютно твердого тела и учитывать деформацию поверхности.
Различают две фазы удара. В течение первой фазы поверхность деформируется до тех пор, пока скорость МТ не станет равной нулю; при этом происходит переход кинетической энергии МТ во внутреннюю потенциальную энергию поверхности. В течение второй фазы удара форма поверхности под действием внутренних сил упругости частично восстанавливается. За эту вторую фазу скорость МТ возрастает до определенной конечной величины. Одновременно происходит переход внутренней потенциальной энергии поверхности в кинетическую энергию МТ. В тот момент, когда МТ отделится от поверхности, явление удара заканчивается. Во второй фазе удара восстанавливается только часть первоначальной кинетической энергии, а другая преобразуется в деформацию поверхности и ее нагревание.
Таким образом, скорость МТ в конце удара будет составлять какую-то часть скорости в начале удара и может быть определена равенством:
. (2)
Отношение модулей скоростей шара после и до удара называется коэффициентом восстановления k при ударе.
Значение k для разных тел определяется опытным путем. Опыты показывают, что для различных тел k различно и изменяется от нуля до единицы (0 k1).
Удар, при котором имеет место зависимость (2) при , называютне вполне (частично) упругим ударом.
Из уравнений (1) и (2), зная m, v , k, найдем неизвестные величины u, S:
,
u = kv.
Если k = 0, то такой удар называют абсолютно неупругим, и в этом случае явление удара заканчивается одной первой фазой. Так как в этом случае u=0, то при абсолютно неупругом ударе МТ, ударившись о неподвижную поверхность, остается неподвижной, при этом
.
Если же k = 1, то такой удар называют абсолютно упругим. В этом случае u = v, то есть скорость МТ в конце удара равна по модулю ее скорости в начале удара. При этом
.
Косым ударом МТ массы m об абсолютно гладкую неподвижную поверхность, называется такой удар, при котором скорость МТ в начале удара образует с нормалью Оn к поверхности в точке удара какой-либо угол.
Пусть угол – угол падения, а скорость в конце удара направлена к этой нормали под некоторым углом – угол отражения (рис. 2).
Рис. 2
В рассматриваемом случае действующей на МТ ударной силой, как в случае прямого удара, будет нормальная реакция поверхности. Обозначим импульс этой ударной силы через .
Проектируя обе части уравнения (8.1) на нормаль к поверхности в точке удара и касательную, проведенную в плоскости векторов и, получим
(3)
Из последнего равенства следует, что
т. е. касательная составляющая скорости МТ при ударе об идеальную гладкую поверхность не изменяется. В таком случае говорят об отсутствии ударного трения.
Так как влиянием трения пренебрегаем и, следовательно, удар происходит только по направлению нормали к поверхности в точке удара, то, как и при прямом ударе, запишем
. (4)
В результате из соотношений (3) и (4) можно найти модуль и направление скорости МТ в конце удара и ударный импульс, если m, v и k известны:
(5)
На рис. 2 видно, что
.
Поделив эти соотношения почленно и учтя, чтонаходим
,
т. е. в случае косого удара коэффициент восстановления есть отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения. При не вполне упругом ударе , и, следовательно,, т. е. угол падения меньше угла отражения.
В частном случае абсолютно упругого удара будем иметь, то есть угол падения равен углу отражения, а при абсолютно неупругом ударе.