18. Теорема об изменении кинетической энергии смт

Используя теорему об изменении кинетической энергии МТ для -й точки СМТ запишем:

(=1,…,n),

(=1,…,n),

(=1,…,n).

Просуммировав эти соотношения и учитывая, что производная от суммы равна сумме производных, получим:

, (1)

.

Введем понятие кинетической энергии СМТ.

Определение: Кинетической энергией СМТ называется величина, равная сумме кинетических энергий входящих в нее МТ:

, (2)

аналогично

. (3)

Здесь Т и Т₀ – соответственно значения кинетической энергии СМТ в текущий и начальный моменты времени.

По определению в соотношениях (1):

, –

соответственно суммы элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ;

, –

соответственно суммы их мощностей;

, –

соответственно суммы работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

С учетом принятых обозначений, из соотношений (1) получим три формы (две дифференциальных и одну конечную) теоремы об изменении кинетической энергии СМТ.

Теорема: Дифференциал кинетической энергии СМТ равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

. (4)

Теорема: Производная от кинетической энергии СМТ равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

. (5)

Теорема: Изменение кинетической энергии СМТ на ее конечном перемещении из одного положения в другое равно сумме работ приложенных внешних и внутренних сил, на том же перемещении.

. (6)

Рассмотрим сумму элементарных работ всех внутренних сил, действующих на СМТ.

Выделим из СМТ две произвольные МТ В_ и B_, положение которых относительно неподвижного центра О определяется радиус-векторами . Обозначим черези() силы взаимодействия между этими МТ и определим сумму элементарных работ этих сил (рис):

Рис. 37

Из полученного соотношения следует, что элементарная работа внутренних сил, с которыми две точки СМТ действуют друг на друга, будет равна нулю только в случае , т. е. когда, что имеет место в случае НМС.

Таким образом, сумма элементарных работ всех внутренних сил НМС всегда равна нулю. Аналогичным образом можно доказать, что суммы мощностей всех внутренних сил НМС и их работ будут равны нулю. Учитывая это, на основании соотношений (4) – (6) для НМС можно записать:

, ,.

19 Кинетическая энергия нмс в частных случаях движения. Теорема Кенига

• Поступательное движение НМС.

В случае поступательного движения НМС все ее точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс НМС: ,поэтому по определению для Т получим

. (1)

• Вращательное движение НМС вокруг неподвижной оси z.

В случае вращательного движения НМС все ее МТ движутся со скоростями , где- кратчайшее расстояние от-й МТ до оси вращения. Соотношение, определяющее Т в случае вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси z примет вид:

. (2)

• Плоскопараллельное движение НМС.

В случае плоскопараллельного движения НМС в каждый момент времени движение НМС можно рассматривать как мгновенное вращательное движение относительно оси, перпендикулярной неподвижной (основной) плоскости и проходящей через мгновенный центр скоростей . Поэтому можно использовать соотношение (2)

, (3)

где – момент инерции НМС относительно мгновенной оси, перпендикулярной к неподвижной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей.

Используем теорему Штейнера-Гюйгенса:

,

где J_С – момент инерции НМС относительно мгновенной оси, перпендикулярной к неподвижной плоскости движения и проходящей через центр масс С, а СР^v – расстояние между мгновенным центром скоростей и центром масс.

Подставив это выражение в соотношение (3), получим:

или

, (4)

где – скорость центра масс НМС.

Теорема Кенига: Кинетическая энергия СМТ в общем случае движения равна сумме кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточена вся масса СМТ, и кинетической энергии СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

Доказательство.

Введем подвижную систему отсчета с началом в центре масс С, движущуюся поступательно относительно основной инерциальной системы отсчета. Представим скорость -й МТ, входящей в СМТ, относительно основной системы отсчета в виде:

, где – скорость движения центра масс СМТ, а– скорость-й точки СМТ по отношению к подвижной системе отсчета.

Подставив это выражение в определение кинетической энергии, получим:

(5)

где – масса всей системы,– кинетическая энергия СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

Для суммы во втором слагаемом правой части выражения (5) можно записать:

, так как ,

Поскольку начало подвижной системы координат совпадает с центром масс.

Из соотношения (5) тогда имеем теорему Кенига:

.