25 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений

Найдем сумму работ всех сил, действующих на механическую систему на некотором ее виртуальном перемещении. Обозначим ее через А. Сообщим точкам СМТ виртуальные перемещения и подсчитаем сумму элементарных работ, приложенных к этим МТ сил, на этих перемещениях. По аналогии с выражением суммы элементарных работ сил на действительных перемещениях работу этих сил на виртуальных перемещениях можно записать в виде:

. (1)

Сумма элементарных работ, которые могли бы совершить силы, приложенные к точкам СМТ на ее виртуальном перемещении, называется виртуальной работой.

С работой пассивных сил на виртуальных перемещениях связано понятие идеальных связей.

Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ пассивных сил (реакций связей) на любом виртуальном перемещении равняется нулю, т.е.

. (2)

Принцип виртуальных перемещений:

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на СМТ, на любом виртуальном перемещении была равна нулю:

. (3)

Доказательство необходимости:

Для доказательства необходимости принципа предположим, что несвободная СМТ со стационарными, удерживающими и идеальными связями находится в положении равновесия. Тогда каждая точка, входящая в систему, находится в равновесии и, используя принцип освобождаемости от связей, можно записать:

(4)

Сообщив МТ, входящим в СМТ, виртуальные перемещения , умножим скалярно каждое из этих уравнений соответственно на, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:

.

Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (2) и из предыдущего соотношения получаем уравнение:

.

Доказательство достаточности:

Для доказательства достаточности применим метод от противного. Предположим, что при выполнении условия (3) система не находится в равновесии, и хотя бы одна из ее точек, например первая, пришла в движение. Тогда для этой точки условие типа равновесия выполняться не будет и вместо (4) получим.:

(5)

Сообщив точкам системы виртуальные перемещения , умножим каждое из уравнений (5) на соответствующее, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения почленно:

.

Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (2) и из предыдущего соотношения получаем неравенство:

,

а это противоречит условию (3). Следовательно, наше предположение о том, что при выполнении условия (3) СМТ не находится в равновесии, неверно, т.е. выполнение этого условия является и достаточным для равновесия СМТ. Что и требовалось доказать.

26Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)

Пользуясь принципом Даламбера, можно придать уравнениям движения форму уравнений равновесия, если к активным (заданным) и пассивным (реакции связей) силам присоединить силы инерции.

Пусть имеется СМТ с удерживающими и идеальными связями. Тогда для каждой МТ, входящей в СМТ, согласно принципу Даламбера можно записать:

(1)

Сообщив МТ, входящим в СМТ, виртуальные перемещения , умножим каждое из уравнений (1) на соответствующее, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:

. (2)

Так как связи, наложенные на систему, идеальные, то выполняются условия

(3)

и из (2) получаем общее уравнение динамики

. (4)

Общее уравнение динамики утверждает (принцип Даламбера-Лагранжа): При движении механической системы с удерживающими и идеальными связями, сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на точки системы и условно приложенных к ним сил инерции на любом виртуальном перемещении равна нулю.

Общее уравнение динамики можно представить также в виде:

(5)

Принцип виртуальных перемещений является частным случаем общего уравнения динамики (в случае равновесия механической системы сила инерции ).