- •1.Законы (аксиомы) динамики
- •2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт. Две задачи динамики точки
- •3* Уравнение колебательного движения мт. Колебания при гармоническом возмущении в среде с линейным сопротивлением.
- •4 Свободное колебательное движение мт (в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы)
- •5 Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы
- •6 Колебательное движение мт в среде без сопротивления под действием гармонической возмущающей силы
- •7 Теорема об изменении количества движения мт
- •8. Теорема об изменении момента количества движения мт
- •9 Теорема об изменении кинетической энергии мт, работа силы
- •10 Внешние и внутренние силы, свойства внутренних сил. Дифференциальные уравнения движения смт
- •Дифференциальные уравнения движения смт
- •11 Центр масс смт. Моменты инерции смт
- •12 Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей – теорема Штейнера-Гюйгенса
- •13. Моменты инерции относительно пучка прямых, тензор инерции
- •15 Теорема об изменении количества движения смт
- •16Теорема о движении центра масс смт
- •17Теорема об изменении кинетического момента смт
- •18. Теорема об изменении кинетической энергии смт
- •19 Кинетическая энергия нмс в частных случаях движения. Теорема Кенига
- •20 Потенциальное силовое поле и силовая функция мт. Закон сохранения механической энергии
- •Закон сохранения механической энергии мт: При движении мт в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной.
- •21Дифференциальные уравнения поступательного движения, вращательного и плоскопараллельного движения нмс
- •22Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Уравнения метода кинетостатики
- •23 Определение динамических реакций в точках закрепления вращающегося тела.
- •24.Классификация связей. Виртуальные перемещения.
- •25 Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений
- •26Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)
- •27Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия смт в обобщенных координатах
- •28. Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения смт в обобщенных координатах)
- •29Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты и циклические интегралы
- •30Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара
- •31 Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициентом восстановления
- •32 Теоремы об изменении количества движения, о движении центра масс и об изменении кинетического момента смт при ударе
- •33Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии (теорема Карно) при прямом центральном ударе.
- •34Удар по вращающемуся телу. Определение реактивных ударных импульсов. Центр удара. Рассмотрим атт массы м, закрепленное в точке о подпятником, а в точке в – подшипником (рис1).
- •Учитывая, что в данном случае , а, из формулы
- •На оси декартовой системы координат Oxyz, получим проекции кинетического момента атт до удара на эти оси:
3* Уравнение колебательного движения мт. Колебания при гармоническом возмущении в среде с линейным сопротивлением.
Рассмотрим движение МТ под действием центральной силы, стремящейся возвратить МТ в равновесное положение при ее отклонении от этого положения. Если начальное отклонение МТ и ее начальная скорость совпадают по направлению, то МТ под действием такой силы будет совершать прямолинейное движение. Будем считать, что сила, стремящаяся возвратить МТ в равновесное положение, пропорциональна ее отклонению от центра (рис.1):
,
где с – коэффициент пропорциональности. Такую силу в дальнейшем будем называть восстанавливающей.
Пусть кроме восстанавливающей силы приложена сила сопротивления, пропорциональная скорости ее движения
,
где – коэффициент, характеризующий интенсивность сопротивления движению МТ.
Пусть к точке приложена еще и возмущающая сила, изменяющаяся с течением времени по гармоническому закону и направленная по оси х (рис. 1):
Hв = H sin pt,
где Н и р - соответственно амплитуда (наибольшее значение) и круговая частота возмущающей силы.
Рис. 1
Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Х примет вид:
.
Приводя это уравнение к каноническому виду, получим:
, (1)
где .
Это линейное, линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение этого уравнения состоит из двух частей:
х = х1+х2, (2)
где х1 – общее решение однородного уравнения
, (3)
х2 – частное решение неоднородного уравнения
. (4)
Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение:
,
где k – характеристическое число.
Решения характеристического уравнения имеют вид:
.
Возможны три типа корней характеристического уравнения:
n< (случай малого сопротивления),
тогда – комплексные числа (,), решение однородного уравнения (3) имеет вид:
, (5)
где а и – постоянные интегрирования.
n> (случай большого сопротивления),
тогда – действительные отрицательные числа, решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:
,
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
n=,
тогда – кратные действительные отрицательные числа, решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:
,
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
Частное решение ищем с учетом вида правой части:
, (6)
где b и – постоянные интегрирования, которые нужно подобрать так, чтобы неоднородное уравнение (1) обратилось в тождество.
Подставляя значения х2, в неоднородное уравнение, получим:
Отсюда, с учетом формул для синуса и косинуса суммы двух углов, имеем:
Приравнивая коэффициенты при sin pt и cos pt в правой и левой частях этого уравнения, получим систему двух уравнений относительно sin и cos :
Решая систему, найдем:
,
.
Возведя в квадрат первое и второе выражения и сложив их, получим:
, (7)
а поделив первое на второе:
или
. (8)
Общее решение, например, в случае малого сопротивления среды может быть представлено в виде:
, (9)
где а и - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями движения, а значения b и только что были определены и от начальных условий не зависят. Для определения постоянных интегрирования (а, ) полное решение (9) необходимо удовлетворить начальным условиям.
Таким образом, колебания МТ являются результатом наложения (суперпозиции) собственных (первое слагаемое в правой части соотношения (9)) и вынужденных (второе слагаемое в правой части соотношения (9)) колебаний.
Наличие множителя e-nt обусловливает быстрое затухание собственных колебаний. Поэтому при расчетах в основном приходится считаться с вынужденными колебаниями, которые являются гармоническими с амплитудой b, угловой частотой p, равной частоте возмущающей силы, и начальной фазой .
Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний и начальной фазы от частоты возмущающей силы и сопротивления среды. Разделив в формулах для амплитуды b (7) и фазы (8) вынужденных колебаний числитель и знаменатель на 2, перепишем их в следующем виде:
,
,
где – величина статического отклонения МТ под действием силы Н, равной максимальному значению вынуждающей силыHв;
–отношение круговых вынужденных и собственных частот колебаний МТ (коэффициент расстройки);
–величина, характеризующая сопротивление среды (коэффициент затухания).
Исследуем то, как будет изменяться амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от изменения безразмерных параметров z и γ. Для этого рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе амплитуды:
.
При f(z, γ) = 1 и b = δ независимо от значения γ.
Для исследования функции f(z, γ) найдем производную по параметру z:
.
Пусть сопротивление движению невелико и . Тогда при возрастанииz от 0 для малых z будет , следовательно, знаменатель амплитуды вынужденных колебаний убывает, а амплитудаb растет. Приравнивая производную нулю, находим значения параметра z, при которых функция f(z, γ) имеет экстремум:
,
так как параметр z не может быть меньше нуля, то исключается значение .
Результаты исследования на максимум амплитуды вынужденных колебаний b в зависимости от z при различных значениях отражены на рис. 2.(график зависимости амплитуды от частоты, амплитудно-частотная характеристика системы (АЧХ), если по оси ординат отложить b/- график динамического коэффициента (коэффициента динамичности))
Рис. 2