Кинематика

2.1. Прежде всего, необходимо проверить, существует ли такой поток. Судя по компонентам вектора скорости, он стационарный и жидкостьнесжимаемая, поэтому должно выполняться уравнение неразрывности (2.7). Вычисляя входящие в него производные, получим,т.е. поток с заданными компонентами скорости может существовать. Выражение для компонентыa_yимеет вид:и окончательно a_y (0,1,2) =16 a².

Ответ: a_y (0,1,2) =16 a².

2.2 [3]. В каждой точке потока должно выполняться уравнениенеразрывности и это является основным условием существования данного течения. Уравнение неразрывности имеет вид (в декартовой системе координат).

а) Решение данной задачи состоит в вычислении частных производных от компонент скорости, подстановки их в уравнение неразрывности и решении получившегося уравнения..Уравнение неразрывности примет вид: a ( +  – 2 ) = 0.Таким образом, течение существует, если в каждой его точке +  – 2  = 0.Последнее соотношение выполняется, в частности, если =  =  .

б) Проверяя выражение уравнения неразрывности, получаем, что такое течение возможно при любых,  и .

в) В данном случае .

Из уравнения неразрывности следует, что для существования плоского течения достаточно, чтобы 2 a  = 2a или=.

Ответ: а) течение существует, если в каждой его точке  +  – 2  = 0;б) течение возможно при любых,  и ;в) течение существует, если  = .

2.3 [2]. В данном случае, конечно, имеютсяв виду средние скорости, так как они одинаковые, то можно определить их величину (по известнымQиSв первом сечении).Площадь бокового притока равна.Суммарный расход после слияния равенQ=Q₁+Q₂.Сечение потока после слияния.

Ответ: ,.

2.4. Объемный расход жидкости, проходящей через полосу ширинойdy, равенdQ =u_x dy. Объемный расход жидкости между пластинами

. Средняя скорость определяется по формуле .Так как движение плоское, то расход, подсчитанный выше, протекает в потоке единичной ширины. Подставляя из условия задачи h = 0,1 м, получим Q = 100,01а = 0,1 (м³/с), V = a (м/с). Уравнение неразрывности имеет вид (в декартовой системе координат) . Подставляя в него значения компонент скорости, убеждаемся в его выполнении.

Ответ: V=a(м/с).

2.5. Вначале определим расход по формуле(учли, что 1 л = 1000 см³).Определяем среднюю скорость с помощью зависимостиV = Q / S.

Площадь сечения трубыS = d²/4 = 3,14(1,5)²/4 = 1,766 см².

Средняя скорость равнаV = 150/1,766 = 84,92 см/с = 0,84 м/с.

Кинематический коэффициент вязкости определяем с помощью известной зависимости  = 0,01778/(1+0,00337Т+0,00022Т ²).Подставляя в последнюю зависимость Т=18С, получим = 0,01778/(1+0,0033718+0,00022(18)²) = 0,0106 см²/с.

Число Рейнольдса равноRe = Vd /  = 84,921,5 / 0,0106 = 12016 (обычно при определении числа Re учитывают только целую часть). Возможно было бы вначале составить общую зависимость для числа Re, а затем подставить в нее все числовые значения. Например, для средней скорости , учитывая, чтоQ = W / t, последняя формула примет вид . Для числаRe получим . При подстановке в последнюю формулу числовых значений важно все давать в одной системе измерений.

Ответ: Re= 12016,V= 0,84 м/с.

2.6. Осьхнаправлена вдоль потока и совпадает с осью трубы, зависимостьrотуиzимеет вид.Применяя зависимости (2.1), для случая а) получим:_x = _y = _z=0, т.е. поток потенциальный.

Для случая б) имеем при подстановке

;

,

т.е. поток вихревой.

Ответ:а) поток потенциальный; б) поток вихревой.

2.7. Для установившегося потока несжимаемой жидкости должно выполняться уравнение неразрывности. Вычисляя частные производные, убеждаемся, что уравнение неразрывности удовлетворяется, т.е. такой поток жидкости может существовать. Из определения функции тока следует.

Интегрируем (*), получим , или(***).

Из (**) следует , или, поэтому.

Частную производную заменяем обычной и интегрируем .

Подставляя выражение для f(x) в (***), получим зависимость.

. Условие потенциальности потока выполняется, так как _x = _y = _z= 0 и поток имеет потенциал. Для потенциального потокаи. Интегрируя первое соотношение, получаем, или. Из второго соотношенияполучаем. Интегрируем последнее равенство.

Потенциальная функция определена с точностью до постоянной, поэтому получаем (0,0) = 0, тогда С₂=0. Окончательно, потенциал скорости будет иметь вид

.

Ответ: ,.