2. Кинематика

Основной теоремой кинематики является теорема Коши-Гельмгольца, согласно которой движение жидкой частицы можно представить в виде трех составляющих: поступательного движения вместе с полюсом, вращения вокруг полюса как твердого тела и деформационного движения. Характеристикой вращательного движения служит угловая скорость вращения частицы как твердого тела

_.

В проекциях на оси координат

,, (2.1)

характеристиками деформационного движения являются скорости относительной линейной деформации (по соответственным осям)

(2.2)

и скорости относительной деформации сдвига (угловой деформации)

. (2.3)

Ускорение частицы.Если скоростьзадана вектором(x,y,z,t), то проекции вектора ускоренияимеют вид

В каждой точке установившегося потока несжимаемой жидкости выполняется уравнение неразрывности

. (2.7)

Пример 2.1. Заданы компоненты вектора скорости потока жидкости

u_x = 6ax + C₁, u_y = –3ay + C₂, u_z = –3az + C₃,

где а– постоянная величина, имеющая размерность 1/Т;C₁,C₂,C₃–постоянные, имеющие размерность скорости. Найти выражение для компонентаа_хвектора ускорения в декартовой системе координат.

Решение. Вначале необходимо проверить, существует ли установившийся поток несжимаемой жидкости с такими компонентами. Для этого выясним, обращается ли уравнение неразрывности (2.7) в ноль; найдем частные производные

При этих значениях (2.7) обращается в нольи поэтому заданный поток существует. Общее выражение для компонентыа_хвектора ускорения следует из (2.4).Вычисляя частные производные в последнем выражении, находим

и тогдаа_х= 6а(6ах+С₁).

Из общего закона сохранения массы следует, что масса жидкости или газа, проходящая через любое сечение потока за единицу времени, является постоянной величиной (если нет ответвлений и присоединений). Эта величина называется массовым расходом Q_mи выражается так:Q_m=Q=VS=const, где– плотность жидкости;V– средняя скорость;S– площадь поперечного сечения;Q– объемный расход. Для потока несжимаемой жидкости=constв каждом его сечении выполняется уравнение неразрывности

Q=const, (2.8)

где Q[L³/T] – объемный расход, чаще называемый просто расходом.

Расходом называется объем жидкости, проходящий через заданное сечение в единицу времени.

Средняя скорость Vпотока жидкости в данном сечении определяется по формуле

.(2.9)

Пример 2.2. РасходQв круглой трубе диаметромd=50 мм равен 2,7 л/с. Определить среднюю скоростьV.

Решение.По определению средней скоростиV=Q/Sполучаем (учитывая, что 1 л = 1 дм³ = 1000 см³)

, где Q– расход;S– площадь сечения.

Уравнение неразрывности (2.8) может быть записано для любого числа сечений так:

. (2.10)

Пример 2.3. Известно отношение диаметров узкой и широкой частей трубы:d₁ /d₂ = 1/3. Найти отношение средних скоростейV₁/V₂, рис. 2.1.

Решение.Уравнения неразрывности (2.10) для двух сечений принимают видV₁S₁=V₂S₂; из последнего уравнения (по свойству пропорции) получаем:. В данном случае труба круглая и поэтому площадь сечения ее (площадь круга) равна. Отношение скоростей будет равно, но нам дано, чтоd₁ /d₂=1/3 илиd₂ = 3d₁. Окончательно получаем.

Движение жидкости является вихревым, если ; если в каждой точке потока, то движение называетсяпотенциальным –в этом случае существует скалярная функция(x,y,z,t), которая называетсяпотенциалом скорости. Для функции(x,y,z,t) выполняются равенства

. (2.11)

Для плоского движения

. (2.12)

Пример 2.4. Установить, вихревым или потенциальным является течение, определяемое вектором скорости с компонентамиu_x= (x–y)·a,u_y = 2ya+C₂,u_z = –3za +xa, гдеа– множитель, имеющий размерность 1/t.

Решение. Для ответа на вопрос в условии задачи необходимо найтикомпоненты вектора . Если =0, то течение потенциальное (безвихревое), если 0, то течение вихревое.Найдем компоненты _x, _y и _z по формулам (2.1)

Следовательно, данное течение является вихревым.

Подставляя u_x,u_yиu_zиз (2.11) в (2.7), получимуравнение Лапласа

.(2.13)

Компоненты скорости в случае двумерного течения в декартовой системе координат могут быть представлены в виде

где  – функция тока. На линии тока выполняется условие (x,y)=const. Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока  (x,y) к произвольным постоянным.

Пример 2.5. Исследовать течение, функция тока которого имеет вид  = 3(х²–у²).

Решение. Имеем u_x = –6ya,u_y = –6хa, течениеустановившееся, плоское_x = _y=0,

,

поэтому движение потенциальное. Определим потенциал скорости из выражения d = –6y dx –6x dy = 0, илиydx + xdy = 0. Это значит, чтоd(xy)=0. Интегрируя последнее равенство, получаем :xy = C.

у=С/х – уравнение эквипотенциалей. Из = 3(х²–у²) =Сполучим– уравнение линий тока. Вектор скорости в потоке направлен по касательной к этой линии, рис. 2.2.

Задачи

Задача 2.1. Заданы компоненты вектора скорости потока жидкости

u_x = 3ax,u_y= 4ay,u_z= –7az+ 3a, гдеа– постоянная величина. Найти значение компонент вектора ускорения в точке (0,1,2).

Задача 2.2. Установить, могут ли существовать течения, задаваемые проекциямискоростей, и если могут, то при каких параметрах , , .

а) u_x = a  x, u_y = a  y, u_z = –2 a  z ,

б) u=a x,u_y= –1/2a y,u_z= –2a z,

в) u_x=2a x,u_y= –2a y,u_z= 0.

Во всех этих зависимостях , ,  –безразмерные числовыепараметры; а – постоянная величина, позволяющая сохранить размерность скорости в правых частях;х,уиz– координаты.

Задача 2.3. В поток жидкости, имеющий площадь поперечного сечения S₁ и расход Q₁, вливается другой поток той же жидкости срасходом Q₂. Определить площадь сечениябокового притокаS₂и сечение потока после слиянияS₀, считая скорости во всех сеченияходинаковыми.

Задача 2.4.Определить объемный расход жидкости, протекающей междуплоскими пластинами, расстояние между которыми h = 0,1 м, рис. 2.4. Поле скоростей имеет вид и_х = 20уа(м/с),u_y =u_z = 0.Каковасредняяскорость? Удовлетворяется ли уравнение неразрывности?

Задача 2.5. Определить среднюю скорость жидкости и число Рейнольдса в круглой трубе внутренним диаметромd=15 мм, если при определении расхода объемным способом объемW=2,7 л был набран за времяt=18c.Температура воды T=18°С.

Задача 2.6.Определить, вихревым или потенциальным будет поток жидкости вкруглой трубе, скорость которой по течению распределена так:

a)u_x=const,u_y= 0,u_z= 0; б),

где u_max –наибольшая скорость в центре трубы;r₀– радиус трубы;r–расстояние от оси трубы до точки, в которой скорость равна и_х.

Задача 2.7. В плоском потоке несжимаемой жидкости заданы составляющие вектора скорости. Возможно ли существование такого потока? Определить для данного потока функцию тока и потенциал скорости.

Задача 2.8.По трубопроводу диаметромd= 156 мм перекачивают нефть, плотностькоторой  = 800 кг/м³. Средняя скорость потока в трубе равна V = 0,85м/c. Определить массовый расход нефти.

Задача 2.9. В призматическом открытом канале прямоугольного сечения глубины по длине изменяются и в двух сечениях 1 и 2 равны соответственно h₁ и h₂, причем h₂ > h₁ и h₂ / h₁ = l,5. Определить среднюю скоростьV₂в сечении 2, если в сечении 1 она равнаV₁ = 0,5 м/с.

Задача 2.10.Даны компоненты вектора скорости потока жидкости

u_x = 4bx + C₁, u_y = –7by + C₂, u_z = 3bz – C₃ ,

где b– постоянная величина размерности 1/t;С₁,С₂,С₃–постоянные, имеющие размерность скорости. Найти компоненты вектора ускорения в декартовой системе координат.

Задача 2.11. Заданы компоненты вектора скорости потока жидкостиu_x=bx,u_у= –3by,u_z= 2bz, гдеb– постоянная величина размерности 1/t. Найти величину вектора ускорения в точке (1,1,1).

Задача2.12. При измерении расхода объемным способом за время t = 32 c был набран объем W = 3,5 л. Внутренний диаметр трубы, через которую поступала вода, равенd= 20 мм. Определить числоReв потоке. Кинематический коэффициент вязкости принять равнымν= 0,01 см³/с.

Задача 2.13. Определить число Рейнольдса в сечении 1, если в сечении 2 оно равно Re = 11200. Задано отношение диаметров d₂/d₁ = 3. Температура жидкости не изменяется при переходе от сечения 1 к сечению 2.

Задача 2.14. Представляют ли многочлены =b(x³–3xy²) и =b(3x²y–y³) соответственно потенциал скорости и функцию тока одного и того же течения? В данном случае b – постоянная, введенная для сохранения размерности.

Задача 2.15.Определить составляющие вектора угловой скорости частиц жидкостив потоке, для которого заданы компоненты вектора скорости u_x=axy,u_y=ayz,u_z=axz, гдеа– постоянная величина, позволяющая сохранить размерность скорости в правых частях.

Задача 2.16.Дан ламинарный поток в круглой трубе. Распределение скоростей по сечению трубы имеет вид

, гдеh_mp,ρ,g,L, µ – постоянные;r₀– радиуструбы; r – расстояние от оси трубы до точки, в которой скорость равна u_х. Ось трубынаправлена вдоль оси х.Определить расход и среднюю скорость, а также вихревым или потенциальным будет данный поток.

Задача 2.17.Распределение скорости по сечениюплоского канала шириной L при ламинарном установившемся течении вязкой жидкостиподчиняется параболическому закону.

Является ли движение вихревым?