- •Саратовский государственный технический университет
- •А.М. Калякин, в.К. Шашмин
- •Гидравлические задачи. Методы решения
- •Учебное пособие для студентов всех специальностей
- •Введение
- •1. Физические свойства жидкостей и газов
- •2. Кинематика
- •3. Гидростатика
- •3.4. Закон Архимеда. На тело, погружённое (полностью или частично) в жидкость, действует сила, направленная вертикально вверх и равная весу жидкости в объёме погружённой части тела Wпогр.
- •Общий раздел
- •К задаче 91
- •Специальный раздел «Физические основы Гидростатики»
- •Решения Физические свойства жидкостей и газов
- •Кинематика
- •Гидростатика
- •Сообщающиеся сосуды
- •Указания к общему разделу
- •Указания к специальному разделу «физические основы гидростатики»
- •ЛитературА
- •Моменты инерции, координаты центра тяжести и центра давления плоских фигур
- •Содержание
- •Подписано в печать 27.11.08 Формат 6084 1/16 Бум. Офсет. Усл. Печ. Л. 5,58 (6,0) Уч.-изд. Л. 5,7 Тираж 170 экз. Заказ 340 с 71
3. Гидростатика
3.1. Гидростатическое давление. Давление в неподвижной жидкостирназываетсягидростатическими представляет собой напряжение сжатия в точке, расположенной внутри покоящейся жидкости,
,
где ∆F– сила, действующая на площадку ∆S, содержащую рассматриваемую точку.
Если давление родинаково в любой точке площадки площадьюS, то оно выражается зависимостью,
,(3.1)
где F– сила, действующая на площадку.
Гидростатическое давление в данной точке всегда направлено перпендикулярно к площадке, на которую оно действует. В случае, когда из массовых сил действует лишь одна сила тяжести, гидростатическое давление рв точке, находящейся на глубинеh, определяется по формуле
, (3.2)
где р0– давление на свободной поверхности жидкости;– плотность жидкости;g– ускорение свободного падения. Гидростатическое давление, определяемое по формуле (3.2), называется полным или абсолютным давлением. Давлениер0может иметь разную природу: жидкость может контактировать с газовой средой (например, с атмосферой и в этом случаер0– атмосферное давление), с твёрдым телом (испытывать давление поршня) или с другой жидкостью (например, на слой ртути в резервуаре налит слой воды и на поверхность ртути действует некоторое давлениер0).
Пример 3.1.Определить избыточное и полное давление на дно резервуара, наполненного водой. Резервуар сверху открыт, давление на свободной поверхности атмосферное. Глубина воды в резервуареh= 1,3 м. Атмосферное давление принять равнымрат = 98000 Па.
Решение. Избыточное давление определяется по формулериз= 10009,811,3 = 12753 Па. Полное давление равнор=рат + gh= 98000 +12753 = 110753 Па.
Из (3.2) следует, что внешнее давление р0, приложенное к свободной поверхности жидкости, передаётся всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля).
Если р0=рат, то зависимость (3.2) принимает вид:
р=рат + gh. (3.3)
Рассмотрим простой и полезный в дальнейшем прием, часто применяемый при решении задач гидростатики; на рис. 3.1 изображена емкость с жидкостью, закрытая сверху. Под крышкой создано некоторое давление газарх, отличное от атмосферного, которое требуется определить. Плотность жидкости, высота столба жидкостиh2в трубке П с открытым концом, а также расстояние от поверхности жидкости в резервуаре до центра отверстия в стенке сосудаh1считается известным.
Вообразим в основании трубки П плоскую площадку Пл, состоящую из частиц жидкости; т.к. вся жидкость покоится, то и площадка Пл покоится. Это значит, что силы F1иF2, действующие слева и справа на эту площадку, равны (жидкость – текучая среда, легко подвижная) и неравенство сил вызвало бы движение жидкости, что не соответствует начальному предположению о том, что вся жидкость покоится). Сила, действующая слева, равнаF1 =p1S, а сила, действующая справа –F2 =p2S, гдеS– площадь площадки Пл;р1– давление на площадку слева;р2– давление на площадку справа. ИзF1 =F2следует, чтор1=р2.
Давление слева р1складывается из давления на свободной поверхности в сосудерхи давления, создаваемого столбом жидкостиh1, находящейся в сосуде
р1=рх+ ρgh1 .
Давление справа р2складывается из давленияратна свободной поверхности жидкости в трубке П и давления, создаваемого в основании столба жидкости в трубке П высотойh2
р2=рат+ ρgh2 .
Приравнивая р1ир2, получаем окончательно уравнение
рх+ ρgh1 =рат+ ρgh2 ,(3.4)
из которого возможно определить рх(еслирхизвестно, то можно найтиh2).
Из рис. 3.2 видно, что в зависимости от давления на свободной поверхности в закрытом сверху сосуде возможны три варианта расположения уровней жидкости в пьезометре:
а) если p0>pат,h1>h; б),h1 =h; в) если, тоh1<h.
а) б) в)
Рис. 3.2
Если подставить в выражение для избыточного давления pизб=ρghплотность в кг/м3, ускорение свободного падения в м/с2, а глубинуhв метрах, то давление получим в паскалях (Па). Таким образом, если в зависимость дляризбподставить величины, выраженные в системе СИ, то и ответ будет получен в такой же системе, т.е. в Па. Из формулы (3.3) следует, что абсолютное давление складывается из двух составляющих: внешнего давленияр0и давления, определяемого величиной ρgh. Разность их называется избыточным давлением. Если на свободной поверхности давление равно атмосферному, то избыточное давление равноризб = ρgh0. Избыточное давление также называется манометрическим; для измерения давления могут применяться различные приборы, например, дифференциальный жидкостный манометр. Точность измерения разности давлений этим манометром зависит от точности определения плотностии разности ∆h. Избыточное давление также может быть измерено механическим манометром. Если механический манометр никуда не присоединен, его показание равно нулю, а присоединенный к объему жидкости или газа с давлениемрат+ ∆р, он покажет значение ∆р.
Отношение давления рк произведениюgимеет размерность длины и выражается обычно в метрах или сантиметрахH=p/g. Таким образом, последнее равенство устанавливает связь между давлениемри некоторой длинойН, которая называется напором.
Пример 3.2. В пьезометре, присоединенном в точке А на глубинеh1 = 0,6 м, вода поднялась на высотуh2 = 1,7 м. Определить избыточное давление в точке А и давлениерна свободной поверхности в сосуде, рис. 3.3.
Решение.Избыточное давление в точке А избыточно по отношению к атмосферному давлению, которое действует на поверхность воды в пьезометре. Поэтому избыточное давление создается не столбом жидкостиh1в сосуде, а столбом жидкости высотойh2в пьезометре, поэтому
ризб=рм= ρgh2= 1000·9,81·1,7 = 16677 Па.
Для определения неизвестного давления р применим зависимость (3.4), которая в данном случае примет вид р + ρgh1 =рат + + ρgh2. Из последнего равенства следует
р=рат+ ρgh2– ρgh1=рат+ ρg(h2–h1)= 98000 Па +1000·9,81·1,1=108791 Па .
Если абсолютное давление меньше атмосферного, т.е. р<рат, то разность между атмосферным и абсолютным давлением называется вакуумом
рвак=рат–р= ρghвак, (3.5)
. (3.6)
Величина hвакназывается вакуумметрической высотой, поэтому вакуум измеряется в долях атмосферы или высотой столба жидкости.
Пример 3.3. Давление газарв закрытом герметическом резервуаре равно 0,8 ат. Определить высоты столбов воды и ртути, соответствующих величине вакуума в резервуаре.
Решение. Вакуумом называется давление, недостающее до атмосферного, поэтому вакуум в данном случае равен рвак = рат – р = 1 ат – 0,8 ат = 0,2 ат = 98100·2/10 Па = = 19620 Па. Столб жидкости плотности и высотой h создает в своем основании давление р = gh, поэтому прямой ответ на вопрос в задаче можно получить, определив h из последнего уравнения . Для водыв = 1000 кг/м3, подставляя это значение в последнюю зависимость для h, получим =2,00 м. Для ртутирт = 13600 кг/м и соответственно hрт = 0,147 м.
Иной способ решения этой задачи состоит в следующем: допустим, что к резервуару (рис. 3.4), в котором давление равно р= 0,8 ат, присоединен дифференциальный жидкостный манометр. Применяя формулу (3.4) к площадке на поверхности жидкости в правом колене манометра, получимgh+0,8 ат =рат. Подставляя численные значения плотности воды и ртути в данные уравнения, имеем те же значенияh, что и раньше.
3.2. Сила давления жидкости на плоские поверхности. Сила, действующая на плоскую площадку со стороны покоящейся жидкости, может быть определена с учетом давления на поверхностир0и без учета этого давления.
Сила избыточного давления F на плоскую стенку находится как произведение смоченной (т.е. контактирующей с жидкостью) площади стенки S и гидростатического давления в точке центра тяжести этой площадки рц.т., т.е.
F=рц.т·S, (3.7)
или
F=ghц.т.·S, (3.8)
где hц.т.– глубина погружения центра тяжести смоченной площади стенки.
С учетом давления на поверхности р0сила, действующая на площадку, определяется так
F=p0S+ghц.т S. (3.9)
Центр давления (точка приложения равнодействующих сил давления) для негоризонтальных стенок лежит ниже центра тяжести стенки. Его положение определяется зависимостью
, (3.10)
где Iс– момент инерции смоченной площади стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести этой площадки; ℓц.т.и ℓd– соответственно расстояния центра тяжести стенки и центра давления от линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью.
Зависимости для определения центра тяжести и моментов инерции плоских фигур относительно оси, проходящей через центр тяжести, приведены в приложении 3.
Пример 3.4.Определить силу давления воды на прямоугольный затвор, перекрывающий отверстие донного водовыпуска (рис. 3.5). Ширина затвораb= 1,2 м, глубина погружения его верхней кромкиа= 0,9 м и нижнейh= 2,2 м. Угол наклона затвора= 60.
Решение.Определяем высоту затвора ℓ и его площадьS:
ℓ = (h – a) / sin a = (2,2 – 0,9) / 0,866 = 1,5 м. S = bℓ = 1,21,5 = 1,8 м2. Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей (на середине его высоты), следовательно,hцт = a + (l/2)sin a или, подставляя числовые значения. Сила, действующая на затвор, может быть определена по формуле (3.8)F= ρghцтS= = 10009,811,551,8 = 27369,9 Н.
Пример 3.5.Определить положение центра давления на плоский прямоугольный затвор, верхняя кромка которого совпадает со свободной поверхностью (рис. 3.6). Глубина воды перед затворомh= 3,4 м. Ширина затвораb= 1,8 м.
Решение.Площадь затвора, так как он представляет собой прямоугольник, равна:
S=b·ℓ = 1,8·3,4 = 6,12 м2. В данном случае для вертикального щита
.
Момент инерции .
Применяя зависимость (3.10), получаем:
м.
или ℓц= 1,7+5,89/(1,76,12) = 2,26 м.
3.3. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности. Сила суммарного давления жидкостиFна криволинейную поверхность может быть определена как геометрическая сумма её составляющих: горизонтальнойFги вертикальнойFв, т.е.
. (3.11)
Горизонтальная составляющая силы суммарного давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию Sв этой стенки:
Fг =ghц.т·Sв =рц.т ·Sв .(3.12)
Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объёме тела давления
Fв =g W. (3.13)
Телом давления называется объём жидкости, ограниченный данной криволинейной поверхностью, вертикальной плоскостью, проведённой через нижнюю образующую криволинейной поверхности, и свободной поверхностью жидкости. Если объём находится с несмачиваемой стороны стенки, вес тела давления нужно считать направленным вверх.
Направление силы суммарного давления Fопределяется углом β, образуемым векторомFв и горизонтальной плоскостью
tg(β) =Fв /Fг .(3.14)
Пример 3.6.Определить силу давления воды на затвор, если глубина воды перед затворомh= 2,8 м, радиус затвораr= 2 м, ширина затвораb= 6,8 м, рис. 3.7.
Решение.Для определения горизонтальной составляющейFxзаметим, что проекция части щитаED, которая контактирует с водой, на вертикальную плоскость представляет собой прямоугольник со сторонамиbиr; тогда из рисунка следует, что точка центра тяжести находится на глубине (h–r/2). Применяя формулу (3.12), получим
FX = cg (h–r/2)rb = 10009.8(2.8–1) = 239904 H.
Объем тела в данном случае равен объему тела с сечением ABDEF
WD = pr2/4b+r (h–2) b = (3,144/4)6,8+2(2.8–2)6,8 = 32,23 м3.
Поэтому вертикальная составляющая силы давления на затвор равна
FZ = cg WD = 10009,8132,23 = 316195,9 Н.
Равнодействующая Fопределяется по формуле (3.14)
=396905,5 H.