Сообщающиеся сосуды

3.13[4]. СечениеI-Iвыбрано совпадающим с нижним уровнем ртути в левом колене. Давление в сеченииI-Iв обоих коленах трубки одинаково- это можно показать так: представим, что в нижней части трубки, в сечении А существует тонкая площадка, состоящая из частиц жидкости, так как вся жидкость в трубке покоится, то и площадка покоится, а это возможно, если давления справа и слева от нее равны. Поднимаясь затем слева и справа от этой площадки на одинаковую высотуh₀, жидкость оказывается в сеченииI-I, давление в котором на одинаковую величину меньше, чем давление в сечении А. Схема трубки с жидкостями будет именно такой, какой она изображена на рисунке, так как столб жидкости в левом колене уравновешивает столб жидкости в правом колене и еще столб ртути высотойh. Если представить, что столб ртути высотойhзаменить жидкостью, которая налита в правом колене, то равновесие нарушится (плотность ртути больше, чем плотность воды или бензина), так как слева на ртуть давление будет больше. Поэтому приходим к выводу, что слева налита вода, а справа – бензин, плотность которого меньше, чем воды. Для решения задачи заметим, что давление на уровне сеченияI-Iслевар_сли давление на том же уровне справар_спрравныр_слева=р_справаили(*). Так как в условии задачи задана величинаh_в, то значениеh_бвыразим черезh_виh .

Подставим затем h_бв условие равенства давлений (*) (предварительно обе части (*) разделим наg– ускорение свободного падения). Получим тогда

,откуда определяем h:.

Подставляем значения всех величин в системе СИ и получаем

=0,009 м = 0,9 см = 9 мм.

Приведем решение при выборе другого уровня, учитывая то, что жидкость находится в равновесии. Выберем площадку в сечении А в самом нижнем сечении трубки; давления слева и справа равны и поэтому .

В последнем равенстве сокращаем в левой и правой частях одинаковые слагаемые _трh_оgи делим обе части наg; в результате приходим к уравнению (*), что доказывает правильность нашего решения.

3.14 [9].К схеме на рисунке можно прийти, представляя себе, что вначале вU-образную трубку залита ртуть, которая, очевидно, установится на одинаковом уровне в обоих коленях. Если в левое колено подлить некоторое количество воды, которое значительно легче, чем ртуть, то в правом колене уровень ртути окажется немного выше, чем в левом. Выберем сечениеI-I, как показано на рисунке; ясно, что давление на горизонтальной площадке в сеченияхI-Iснизу и сверху равны, поэтому, например, для площадки в левом колене давление сверху (давление столба воды) равно_вh_вg, давление снизу передается из правого колена, где над уровнемI-Iнаходится столб ртути высотойh_рт, который создает давление_ртh_ртg. Вследствие равенства давлений сверху и снизу_вh_вg=_ртh_ртg, или, сокращая наg,_вh_в=_ртh_рт(**). Из рисунка следует, что, подставляя это выражение дляh_вв (**), получим:. Подставляя числовые значения, получаем60 мм = 756 мм. Заметим, чтоh_ртможно подставлять в любых единицах (миллиметрах, сантиметрах, метрах и т.д.). Это следует из того факта, что множитель, содержащий плотности, т.е. множительразмерности не имеет, т.е. он – просто число.

3.15 [3]. Опустить манометр, в данном случае, – значит увеличить длину трубки, которая соединяет его с резервуаром. Опустить манометр – то же самое, что, оставив его на месте, поднять сам сосуд. Таким образом, подняв сосуд на 1 м, мы создадим дополнительный столб воды и увеличим ее давление на величинур=_вg1 м. Это давление должно компенсироваться давлением за счет поднятия ртути в правом колене манометра на величинуh, причемр=_ртgh, откуда_вg1 м =_ртgh, или, выражаяhм.

Таким образом, показания ртутного манометра увеличатся на величину h = 43 мм. Следует заметить, что полученный результат будет точным в том случае, если уровень воды в резервуаре останется неизменным. На самом дне уровень воды в резервуаре понизится незначительно (мы это изменение не учитываем). Это будет иметь место, когда площадь сечения сосуда во много раз больше площади сечения трубки, соединяющей сосуд и ртутный манометр.

3.16[6]. Выберем уровень отсчета давлений на плоскости, проходящей через точку А, расположенную в центре площадки в основании пьезометрической трубки. Ясно, что давления на эту площадку слева и справа равны и выражаются так

Приравнивая выражения для р_слир_спр, сокращая в обоих частях_вgh₂и деля обе части наg, получим. Из последнего уравнения определяемh₁– высоту слоя бензина:.

Подставляя в последнее равенство числовые значения, получим = 1 м, объем бензина W представляет собой цилиндр, объем которого равен произведению площади основания на высоту; масса бензина в баке определяется по известной зависимости = 1831 кг.

Приведем другой вариант решения, выбрав уровень I-I, совпадающий с границей раздела воды и бензина в сосуде. Ниже сеченияI-Iодна и та же жидкость, следовательно, давления в любой точке на уровеньI-Iодинаковые.

Давления в сосуде, создаваемые столбом бензина , а давления в пьезометрической трубке, создаваемые столбом воды высотой (h₁–h). Приравниваяp₁иp₂и деля все слагаемые в обеих частях наg, получим. В результате получаем то же значение высоты слоя бензина, что и в предыдущем варианте решения.

3.17 [9]. Выберем площадку в левом колене манометра, совпадающую с плоскостьюI-I. Ясно, что давления снизу и сверху на эту площадку равны. Давления сверху, давления снизу (р_о =р_ат), тогда. Из последнего уравнения определяем показания ртутного манометра, т.е. величинуh: ; р₁–р_о=1,3_ат -1_ат=0,3_ат=29,4 кПа. Подставляя числовые значения в зависимость дляh, получаем: 0,82 м0,82 м.

3.18. Выберем уровни отсчета давления для 1 и 2-го пьезометров – это т. А и т. В. Давления справа и слева в т. А и т. В одинаковые. Записываем это условие для т. А

(*)

Для В аналогично (**)

Из (*) получим(***)

Из (**) (****)

Приравнивая значения, определяем h₄

.

Необходимо в заключение заметить, что на разность уравнений ртути в манометрах влияет расстояние от точки присоединения манометра до уровня ртути в левом колене; поэтому это расстояние в данной задаче принимается настолько малым, что не влияет на результат.

3.19 [9]. Вначале определяем давление в конденсаторе; слева на ртуть вU‑образном манометре действует атмосферное давление, справа его уравновешивает столб ртутиh= 620 мм рт.ст. и давление в конденсаторер_к., откуда. Так как в конденсаторе давление меньше атмосферного, то при малой высотеHжидкость поступала бы в конденсатор под действием атмосферного давления. Для определения давления, которое должен создавать насоср_н, запишем уравнение равновесия для столба жидкости высотойН

,

где р_а– атмосферное давление;р_н– давление (избыточное по сравнению с атмосферным), которое должен создавать насос. Если необходимо определить напор, который должен развить насос, то он определяется по формулеh_н=p_н/ρ.

3.20 [1]. Из рисунка видно, что давление газа над поверхностью жидкости в сосуде меньше атмосферного. Выберем уровни отсчета, относительно которых будем составлять уравнения равновесия. Справа – уровень А-А, совпадающий с поверхностью воды в чашке 3, на поверхность воды в чашке действует атмосферное давление. Слева – уровень В-В – плоскость резервуара между ртутью и воздухом; левый конец трубки 1 сообщается с атмосферой. На уровне А-А атмосферное давлениер_Ауравновешено давлением в сосудер_ои давлением, которое создает столб воды высотойh₃, т.е.

. (*)

На уровне В-В атмосферное давление уравновешивает столб ртути высотой h₁, столб воды высотойh₂и давление на поверхности жидкости в резервуарер_о:

. (**)

Приравниваем (*) и (**) , откуда возможно определитьh₃:h_В=(_тр^.h₁+_в^.h₂)/_в.

Подставляя числовые значения, получим =3,88 м.

Если затем значения h₃подставить в (*), найдем давлениеp_o, т.е. давление в резервуаре меньше атмосферного. Возможно предположить также несколько иной способ решения: из (**), зная значения атмосферного давления, определяютр_о. Еслир_оизвестно, то из (*) определяетсяh₃.

3.22 [7]. Выбираем уровень отсчета, и сравниваем давление слева и справа – сечение А-А. Слева имеем линию раздела между водой и ртутью. В точке В давление P_В

. (*)

Давление в точке С такое же, как в точке В.

. (**)

Приравниваем (*) и (**). Из Р_В=Р_Сследует. Определяем значениеz

.

Подставляя значения Р_А–Р₀=42180 н/м²,_в=1000 кг/м³,_рт=13600 кг/м³, получимz = 4,03–4,08 = 0,22 м = 22 см.

3.23[2]. Выбираем сечение А-А, относительно которого будем сравнивать давления. Плотность этого сечения совпадает со свободной поверхностью спирта в чашке. Так как ниже точек В и С находится однородная жидкость, а сами точки расположены в горизонтальной плоскости, то давления в них одинаковые, т.е.Р_В=Р_С. Давление в точке В,Р_В=Р₁, давление в правом колене, т.е. в точке С,Р_С=Р₂+_cgh = Р₂+_cg l sin , …h = l sin . ПриравниваемР_ВиР_Си получаемP₁ = Р₂+_cg l sin . Из последнего определяем длину трубки. Подставляем в последнее равенство числовые значенияР₁–Р₂=0,002 ат = = 0,00297,110³=196 Н/м²=196 Па, тогда=0,0499 м5 см.

3.24[9]. Выбираем для сравнения плоскостьI-I; в сечении В давлениеР_В=Р₁, в правом колене давлениеР_С=Р₂+_cn g h. Из условияР_А=Р_Вполучаем уравнениеР₁=Р₂+_cn g hилиР₁–P₂=_cn g h. Подставляя числовые значения, получаемР₁–P₂=_cn g h = 8609,810,08 = = 674,9 Па.

3.25 [2]. а) Выбираем плоскость сравнения, проходящую через уровень ртути в левом колене манометра, тогда Р_л = P₁+_в g H, давление на уровне I-I в правом колене. Приравнивая Р_л и P_n, получим P₁+_в g H = P₂+_рт g р+_в g H–_в g h, после приведения подобных членов Р₁–P₂ = = 9,810,12(13600–1000) = 14817 Па = 0,15 ат.

б) Выберем плоскость сравнения, совпадающую с кромкой верхней стенки трубы. Давление в основании левого коленаР₁ = Р₀+_в g (h₁+h), давление в основании правого колена Р₁ = Р₀+_в g h₁. Перепад (разность) давлений Р₁–Р₂ = _в g h. В данном случае P₀ – давление газа в верхней части манометра P = 10009,810,12 = =  1177,2 Па.

3.27 [9]. Проводим сечение на уровне раздела воды и ртути. Давление в любой точке поверхности уровня – величина постоянная.

Давление в точке В слева Р_B =P–_в g H; давление в точке С справаР_C =P_атм+_рт g h. Приравниваем значения давленийP_B = P_C, откудаP–_в g H = P_атм+_рт g h. Избыточное давление в резервуареP = P–P_атм.

P = _в g H+_рт g h= 10009,85+136009,80,64=

= 134,310³Н/м².

Переводим давление в атм. ат.

Ответ:Избыточное давление воды в резервуаре =1,37 ат.

3.28 [9]. Для решения задачи выберем плоскость сравнения, проходящую через раздел воды и ртути в правом колене дифференциального манометра. На площадке в сечении В и в сечении С давления равны, т.к. ниже расположена однородная жидкость – ртуть, находящаяся в равновесии.

Р_В =Р₁+_в g h₀+_рт g h, где_ви_рт– соответственно плотности воды и ртути.

Р_С =Р₂+_в (h₀+h) g. Имея в виду, чтоP_B= P_C, приравниваем выражения.

Р₁+_в g h₀+_рт g h == Р₂+_в (h₀+h) g(из рисунка следует, что давлениеP₂ > P₁).P = P₁ – P₂ = (_рт–_в)gh.Подставляя числовые значения, получимP = (13600–1000)9,810,6 = 74163,6 Па 0,75 ат.

3.29 [7]. Рассмотрим второй случай (задача в случае 1 решается аналогично). Давление на линии раздела в левом колене манометраР_л=Р_А+_возд g h₁, гдеР_А– давление в сосуде,_возд– плотность воздуха. Давление на линииI-Iв правом колене манометраР_пр=Р_а+_в g h₂, гдеР_а– атмосферное давление,_в– плотность воды. ПриравниваемР_лиP_nи учитываем, что избыточное давление в сосуде будет выражаться какР_А–Р_a. В результате получимР_A–Р_a = _в g h₂ – _возд g h₁= 973 Н/м². Процент давления столба воздуха определяется так

.

3.30 [5]. Проведем сечение на уровне раздела жидкостей в левом колене. Давление на линии в любой точке неизменно. Тогда давление в точке В слеваР_В =Р+₁ g h₁.

Давление в точке С справа Р_С = Р₀+_в g h₂+_рт g h.

Р_В=Р_С– давления на линии равны, получаемР+₁ g h₁=Р₀+₂ g h₂+_рт g h.

Перепад давления Р=Р–Р₀ = g (Р₀+₂h₂–₁ h₁)+_рт g h.

3.31 [7]. Выберем плоскость отсчета на линии раздела воды и ртути в правом колене – на рисунке сечениеI-I. Давление в сеченииI-Iв левом колене манометраР_л = Р_А–_в g (Н–h₁) + _рт g (h₁–h₂) (для лучшего понимания на рисунке показаны точки, где давления равныР_лиР_п). Давление в сеченииI-Iв правом коленеР_n = Р_B–_в g (Н–h₂). ПриравниваяР_лиР_п, приводя подобные члены, получаемР = Р_B–P_A = (_рт–_в)g (h₁–h₂). После подстановки числовых значений

Р= (13600–1000)9,810,32 = 35913,6 Па = 0,4 ат.

3.32 [7].  Выберем сечение на линии раздела жидкостей в правом колене.

Р_{В слева} = Р_А–_в g h₁ Р_{С справа} = Р₀+_рт g h₂.

Из Р_В=Р_СследуетР_А–_в g h₁=Р₀+_рт g h₂.

Р_А–Р₀=_в g h₁+_рт g h₂= 136009,80,3+10009,80,6 = 45864 Н/м².

Переведем в ат ат.

3.33. Уровень жидкости в сосуде совпадает с горизонтальной плоскостью и поэтому глубина в нем одинакова в каждой точке дна. Избыточное давление воды определяется по формулеp = gH, гдеН– глубина жидкости. Сила, с которой вода давит на дно сосуда, выражается зависимостьюF = pS(это следует из определения давленияи принимаем во внимание, что давление одинаково во всех точках), в данном случаеS – площадь дна.

Подставляя числовые данные, получаем F = gHS = 10009,8120,25 = 490 Н.

Если сосуд вертикальный и призматический, то эта задача может быть решена с позиций элементарной физики, а именно на дно давит вес всей жидкости (кроме вертикальной составляющей других составляющих, как, например, в случае наклоненной стенки, нет), вес всей жидкости и является искомой силой.

Вес жидкости равен F = mg. Масса жидкости равнаm = W, гдеW – объем жидкости.

Вес жидкости (и искомая сила) равны F = gHS, что совпадает с ранее полученным решением.

Необходимо заметить, что задачи такого типа необходимо решать с помощью формулы F = pS.

3.34 [9]. Обычно в такого рода задачах определяют силу избыточного давления, т.к. атмосферное давление действует с обеих сторон площадки и поэтому компенсируется. Сила избыточного давления, действующего на дно бака, определяется по формулеF = gHS, гдеS– площадь дна. Сила давления на баковую поверхность определяется по формулеF=gh_ц.т.S_, гдеh_ц.т.– расстояние от уровня жидкости до центра тяжести смоченной поверхности. Боковая поверхность в данном случае – прямоугольник, центр тяжести которого находится на пересечении диагоналей, поэтомуh_ц.т.= H/2.

Сила давления на боковые стенки

, где S₁= lH ;,

где S₁= bH.

Центр давления (точка приложения силы давления) определяется по формуле , гдеS – площадь боковой поверхности;J₀ – момент инерции этой площадки (поверхности) относительно оси, проходящей через центр масс и параллельно плоскости поверхности воды. В данном случае,S₁ = lH,h_ц.т.=Н/ 2 и, поэтому.

Центр давления находится на расстоянии 2/3 H от свободной поверхности жидкости.

Определяем силы давления, учитывая, что плотность воды при t = 80равна= 971 кг/м³

F₁ = 9719,811,26,02,4 = 164,6 кН

F₂ = 9719,811,22,22,4 = 60,353 кН

F₃ = 9719,812,46,02,2 = 301,768 кН

h_ц.д.= 2/32,4 = 1,6 м.

3.35. Избыточное давление определяется по формуле Р_изб = gz, где z – глубина погружения точки, где давление равно Р_изб. Следовательно, график распределения давления – линейная формула. Сила избыточного давления определяется так: F = gh_ц.т.S, где S = bH – площадь стенки, – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести смоченной поверхности. Центр давления (см. задачу 3.34). Опрокидывающий момент (относительно точки А) M_A = F(H–h_ц.д.). Определяем числовые значения:

F = gh_ц.т.S= 10009,814,11608,2 = 52,769952 МН = 5384,6 т.

Опрокидывающий момент

М_А= 52,76(8,2–5,46) = 144,5 МНм.

3.36. Сила избыточного давления равна F = gh_ц.т.S, где – площадь трапеции,h_ц.т. – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести трапеции. Расстояние от длинной стороны трапеции до центра тяжести равно . Подставляя числовые значения, получаемм.

3.37[9]. В данном случае существует давление (отличное от атмосферного) на свободной поверхности, поэтому необходимо определить силу полного давления на крышку люка со стороны воды. Полное давление в бане на глубинеHр = р₀+gН,р₀= 20 ат = 2098100 = 196210³Па. Избыточное давление в данном случае выражается так:р_изб = р₀+gН–р_ат. Сила избыточного давления определяется с помощью зависимостиF = (р₀+gН–р_ат)S = =.

Подставляя числовые значения, получаем

F = (196210³+5559,813,2–98100)=17869,7 Н.

3.38 [5]. Для подъема щита необходимо, чтобы момент, создаваемый усилиемTотносительно точки А, превысил момент инерции, создаваемый силой давления воды на щит, относительно той же точки.

Определим силу давления воды на щит F = gh_ц.т.S, где– площадь щита,h_ц.т.– расстояние от свободной поверхности до центра тяжести смоченной поверхностиh_ц.т.=Н/ 2.

Центр давления (см. задачу 3.34).h_ц.т.= 2Н/ 3. Момент, создаваемый силой полного давления воды относительно точки А, равен. Записываем условия поднятия щита

Подставляя данные, получим =110 кПа = 11,2 т.

3.39 [1]. Указание:давлениzсправа и слева от задвижки различаются из-за различия в плотностях воды при разных температурах. В обоих случаях давление определяется по формулер = _вgh.

3.40 [5]. Гидростатическое давление в жидкости определяется по формулеP = gz, гдеz – глубина погружения. Следовательно, график давления – линейная функция. Изменяется плотность – изменяется угол наклона графика. Давление жидкости на площадку направлено по нормали к площадке. В точке А (линия раздела жидкостей) давлениеР_А = ₁gh₁. Далее плотность жидкости изменяется иР = ₁gh₁+₂g(z–h₁) приz > h₁.

В точке z= h₁+h₂давление выражается такР_B = ₁gh₁ + ₂gh₂.

Подсчитаем полученные значения и соединим прямыми линиями.

Давление в точке А Р_А = ₁gh₁ = 8009,80,8 = 6572 Па.

Давление в точке В Р_В = ₁gh₁+₂gh₂ =6,3 кПа + 1,29,81000 = = 18 кПа.

3.41 [5]. Гидростатическое давление определяется по формуле,Р = gz, гдеz – глубина погружения. Давление жидкости на площадку направлено по нормали к площадке.

В точке А Р_А = gh₁= 10009,81,2 = 11,76 кПа.

В точке В Р_В = g(h₁+h₂) = 10009,82,6 = 25,48 кПа.

В точке С Р_С = g(h₁+h₂) = 10004,49,8 = 43,12 кПа.

3.42 [4]. Считается, что резервуар представляет собой параллелепипед, заполненный водой до краев. Объем его равен 30 м³, при этом размеры дна (а следовательно, и площадь дна) известны. Определяем глубину воды, разделив объем резервуара на площадь дна=2 м. Определяем силу избыточного давления на дно по формулеF_дн = gН53 = 10009,81253 = 297,3 кН.

=10009,81123 = 58,86 кН.

Учитываем, что каждая стенка представляет собой прямоугольник, центр тяжести которого расположен в точке пересечения диагоналей.

3.43[9]. Определяем давление на плоскую прямоугольную стенуР = gh_ц.т., гдеh_ц.т.– расстояние от уровня жидкости до центра тяжести смоченной поверхностиh_ц.т.=Н / 2.

Сила давления на стенку = = 17410³Н = 174 кН.

Точка приложения равнодействующей сил давления ,J₀ – момент инерции смоченной поверхности относительно оси, проходящей через центр масс и параллельно свободной поверхности

, ,,

.

По вертикали точка приложения равнодействующей сил давления=1,87 м.

3.44 [5]. Определим силы гидростатического давления (избыточного) слеваF₁и справаF₂по известным зависимостямF₁ = gh_ц.т.1S₁, где;F₂ = gh_ц.т.2S₂, где;,– расстояние от уровня жидкости до центра тяжести смоченной поверхности. Равнодействующая сила определяется так:. Центры давлений определяются по формуле (см. предыдущую задачу), тогда,. По вертикали,от уровня поверхности жидкости. Точка приложения равнодействующей силыF_pопределяется из условия: – момент равнодействующей силы относительно точкиOравен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки, или. Подставляя числовые значения, получимF₁ = 86,4 кН,F₂ = 33,1 кН,F_р = 53,3 кН,z_ц.д.= 3,49 м, по высотеh_ц.д.=z_ц.д.sin 45=2,46 м.

3.45 [5]. Величина давления в данном случае определяется по формулеP = gh_ц.т., где– расстояние от свободной поверхности до центра тяжести затвора. Сила давления выразится так:F = gh_ц.т.S, гдеS = a².

3.46 [5]. Давление воды в точке центра тяжестиP = gh_ц.т., где– расстояние от свободной поверхности до центра тяжести круглого щита. Точка приложения равнодействующей сил давления определяется по формуле, гдеR– участок от верхнего края диска до его центра тяжести,S= R² – площадь диска, – момент инерции диска относительно центра масс.

.

Расстояние от свободной поверхности воды до точки приложения равнодействующей сил давления на щит равно .

3.47. 1. Горизонтальная составляющая силы складывается из а) силы, действующей на плоскую часть стенки. Эта часть представляет собой прямоугольник, центр тяжести которого находится на глубине (Н–2) / 2, площадь егоS=b(H–r). Сила избыточного гидростатического давления, действующая на плоский элемент; б) силы, действующей на цилиндрическую поверхность ВС, которая равна, гдеН–r/2 – глубина погружения центра тяжести проекции цилиндрической поверхности на вертикальную плоскость.

2. Вертикальная составляющая равна весу давления и в данном случае направлена вверх. Объем тела давления .

Сила равна .

3.48. Горизонтальная составляющая силы.

Вертикальная составляющая давления (в данном случае она направлена вверх, заштриховано тело давления) .

Равнодействующая силы определяется так: .

3.49. Объем цилиндра равен, откуда.

Так как вода заполняет цилиндр до краев, то сила давления на дно выразится так: . Сила давления на боковую поверхность определяется по формуле, гдеh_c– расстояние от свободной поверхности до центра тяжести площадки – проекции боковой поверхности на вертикальную плоскость, проходящую через ось цилиндра. Эта площадка представляет собой прямоугольник, поэтомуh_ц.т.=H/ 2. Окончательно. Подставляя числовые значения, получаем =10 м ;=2,98 МПа;

0,78 МПа.

3.50. Горизонтальная составляющая силы давления определяется по формуле . Вертикальная составляющая равнаF_в = gW, гдеW – объем тела давления, в данном случае тело давления действительные и сила давления направлена вниз. Объем давления равен четверти объема цилиндра, поэтому .

Равнодействующая силы давления . Положение силыFопределяется тем, что она пройдет через центр круга и угол наклона ее к горизонту равен.

3.51. Горизонтальная составляющая результирующей силы равна нулю, потому что на правую и на левую половины крышки действуют противоположно направленные силы давления, которые равны по величине.

В результате сила давления на крышку равна вертикальной составляющей, т.е. весу воды в объеме тела давления , где – объем половины шара. Подставляя числовые значения, получим=24971,3 Н.

3.52. Горизонтальная составляющая полной силы давления на крышку, где– глубина погружения центра тяжести проекции полусферической крышки на вертикальную плоскость,– площадь круга – проекция крышки на вертикальную плоскость, совпадающую со стеной, к которой крепится крышка. Вертикальная составляющая полной силы давления равна разности сил давления, действующих на верхнюю и нижнюю половины. Тела давления будут иметь вид (разностью этих объемов является объем полушара). Зависимость для вертикальной составляющей. Как видно из последней зависимости, вертикальная составляющая не зависит от глубины погружения крышки под свободной поверхностью и от давления на свободной поверхности.

3.53. а) Горизонтальная составляющая силы равна нулю, так как на правую и левую половины крышки действуют одинаковые, но противоположно направленные силы давления. Полная сила давления в данном случае равна своей вертикальной составляющей, т.е. весу бензина в объеме тела давления (тело давления заштриховано на рисунке), тогда. Учитываем, что объем шара равен, а объем полушария. Подставляя числовые данные, получим

=5322,8 Н.

б) На свободной поверхности давление больше атмосферного. Наиболее простой способ решения состоит в том, что представляем высоту h₁, увеличенной на столько, на сколько увеличен напор. В данном случае, новое значениеh₁, будет равно 2,2 м+xм, гдеx– высота столба бензина, в основании которого давление 0,3 ат.

3.54[21]. Для лучшего понимания решения задачи представим вначале, что жидкость Ж в правой части отсутствует. В этом случае вертикальная составляющая равна разности давлений на верхнюю и нижнюю половины и поэтому не зависит от давления над свободной поверхностью (оно передается на верхнюю и нижнюю половины одинаково и при вычитании сокращается). На нижнюю половину давление больше и поэтому вертикальная составляющая равна весу жидкости внутри крышки. Если теперь представить, что в правую часть налили жидкость, то вертикальная составляющая является архимедовой силой. Поэтому вертикальная составляющая может быть определена по формуле F_в = G–F_А, где G – вес воды в объеме конусной части крышки G =_вg = 1/12 _вgD²L, где _в – плотность воды, F_А – выталкивающая (архимедова) сила, равная весу жидкости в объеме конусной части крышки, т.е. F_А = 1/12 _жgD²ℓ, где _ж – плотность жидкости. Окончательно F_в = 1/12 _жgD²(_в–_ж). Горизонтальная составляющая силы, действующей на крышку, равна разности сил, действующих слева и справа (если бы условия со всех сторон были одинаковыми, то результирующая горизонтальных сил равна нулю). Таким образом F_г = F_сл–F_спр, где F_сл – сила, действующая слева (со стороны воды); F_в = (_ж–_вgh)D²/4; F_спр – сила, действующая на крышку справа F_спр = _жgHD²/4, где _в – плотность воды.

3.55. Сила, отрывающая крышку, действует на полусферическую поверхность, но давление в разных точках крышки разное, так как различна глубина их погружения от верха крышки. Эта убыль давления (а значит и силы) может быть скомпенсирована учетом веса жидкости под крышкой. Окончательно, сила давления жидкости F₁, отрывающая полусферическую крышку от цилиндрической части резервуара (по сечению А-А), равна F₁ = р_сS–G, где р_с – гидростатическое давление в центре тяжести площади проекции крышки на горизонтальную плоскость А-А; р_с = р_м+₂gD/2; S – площадь проекции крышки на плоскость А-А; G – вес жидкости в объеме полусферической крышки G = р₂gD³/12. Величину силы F₂, разрывающей резервуар по сечению 1-1, определим как сумму составляющих F₃, F₄ и F₅.

а) F₃ =р_с1S₁, гдер_с1– давление в центре тяжести площади проекции крышки на вертикальную плоскость 1-1,р_с1 =р_м+₂gD/4,S₁ – площадь этой проекции, равная 1/2D²/4.

б) F₄ =р_с2S₂, гдер_с2 =р_м+₂g(D/2+Н/4). Ясно, что давление при увеличении глубины погружения повышается, поэтому в скобках стоит знак «плюс», площадьS₂– проекция цилиндрической части резервуара на вертикальную плоскость 1-1 и поэтому представляет собой прямоугольник:S₂=D·H/2.

в) F₅ =р_с3S₃, гдер_с3 = р_м+₂g(D/2+Н/2)+₁gН/4,S₃ = DH/2. Окончательно получим, что сила давления жидкости, разрывающая резервуар по сечению 1-1, будет равнаF₂ = F₃+F₄+F₅.

3.56 [5]. Горизонтальная составляющая гидростатического давления определяется как разность сил слева и справа,F_г = 1/2gd²b – 1/2gbd²/4 = 3/8gd²b. Для определения вертикальной составляющей заметим, что если убрать жидкость слева, то давление будет иметь вид заштрихованного полукруга АВС. Жидкость слева своим присутствием оставляет давление в четверть круга (горизонтальная штриховка на рисунке). Вес этой части будет равенF_в=gW=gbd²/16. Равнодействующая

3.57 [2]. Закрытая снизу труба, погруженная в жидкость (глинистый раствор), представляет собой поплавок, на который действует выталкивающая архимедова сила, направленная вверх. В данном случае необходимо, чтобы архимедова сила, действующая на трубу, была равна весу трубы и из этого условия (в виде уравнения) определяется толщина стенки трубы. Допустим, что внешний радиус трубы равенR, а внутренний равенr; тогда толщина стенки трубы равна, а площадь кольца в сечении трубы, как следует из рисунка (заштрихованная часть), равна площади большого круга минус площадь малого круга, т.е., поэтому объем стали в трубе равен, гдеl– длина трубы, масса стали равна, а вес стали (а, следовательно, трубы) равен. Сила Архимеда определяется так:F_A = _жgW, где_ж– плотность глинистого раствора;W – объем трубы.

F_A = _жg R² l. Приравнивая вес трубы и архимедову силу, получаем

, поделим обе части последнего равенства на  d l, тогда получим, откуда определяем внешний радиус трубыи окончательно, находим толщину стенки

.

3.58 [7]. В данном случае брусок, погруженный в жидкость, вытеснит такой объем, который имеет его часть, находящаяся в жидкости. Вес вытесненной жидкости равен_жgW = _жgbly, а вес самого бруска равен_дgW₀ = _дgblh.

Приравнивая два последних выражения, получим: _дgbly=_дgblh или после сокращения наg b l_жy = _дh, где_д– плотность дерева,

откуда . Подставляя числовые значения, получим=750 кг/м³.

3.59 [2]. Сила тяжести трубки с шариком равна архимедовой силеF_арх. Архимедова сила равна объему погруженной части ареометра, умноженной на плотность окружающей жидкости

,

где – объем погруженной части стеклянной трубки.

Приравниваем вес ареометра и F_арх , откуда.

Подставляем значения W= 14 см²=1410^–6м³;

d= 28 мм = 2810^–3м=0,062 м = 62 мм.

Ответ: Глубина погружения ареометра в спирт составляет 62 мм.

3.60 [9]. Бревна погружены в воду полностью. Объем погруженного плотаV , гдеn– число бревен. Архимедова силаF_арх:F_арх=V_вод.

Вес плота F_пл=V_др. Суммарный вес плота и машины равен архимедовой силе

, . Подставляем значениеF_арх

V;

=19,6 шт.

Берем значение n20.

Несмотря на то, что бревна полностью под водой, при малейшем опускании плота возникает архимедова сила, так как под воду начнут уходить части автомашины (вес автомашины уже скомпенсирован).

3.61 [2]. ЕслиW₁– объем погруженной в жидкость части бревна, то архимедова сила выразится так:F_A = _вgW₁. Вес бревна равенG = _дgW₀, где_в– плотность воды,_д– плотность дерева. Из условия равновесияG=F_Аследует_вgW₁ = _дgW₀или.

Следовательно, объем погруженной части бревна составляет 0,8 всего объема бревна. Так как никаких ограничений на выбор объема W₁сделано не было, то можно заключить, что ответ не зависит от формы этого объема.

3.62 [7]. Окончательный результат решения не изменится, если рассматривать уровни, когда весь лед растаял. Уровень воды в сосуде останется тем же, если объем погруженной в воду части льда будет равен объему жидкости, которая образовалась в результате таяния льда. Из решения предыдущей задачи имеем для объема погруженной части

, так как в данном случае.

В результате таяния льда масса его перейдет в массу воды (после его таяния), откуда следует или, следовательно, уровень в сосуде не изменится.

Указания. Все числовые расчеты в данной задаче привести самостоятельно по плану:

1. Подсчитать вес льда.

2. Приравнивая вес льда и архимедову силу, определить объем вытесненной жидкости и глубину погружения льда.

3. Определить объем воды при таянии всего объема льда.

3.63 [2]. Вес топлива, содержащегося в танкере, уменьшится на_ТgV . Архимедова сила также уменьшится на ту же величину; она выражается как_вgSh. Приравнивая два последних выражения, получим_TgV = _вgSh, откуда, где_T – плотность топлива,_в – плотность воды, которую принимаем равной 1000 кг/м³. Для получения ответов в виде числа необходимо перевестиhв метры; окончательно=445 м².

Ответ:S= 445 м².

3.64 [9]. Необходимо учитывать, что в любой среде – в газе или в жидкости – на твердое тело действует архимедова сила (не действует она только в вакууме). Если архимедова сила, действующая на тело, равна его весу, то положенное на весы, это тело не окажет на весы никакого воздействия. Если архимедова сила больше веса тела, то его не имеет смысла взвешивать; если вес больше, чем выталкивающая сила, то весы покажут разность между весом и архимедовой силой. В случае взвешивания в воздухе:

_kgW –_воздgW = p¹, (*)

где W– объем кирпича,_k – плотность материала кирпича,_возд– плотность воздуха. При взвешивании в воде:

, (**)

где _в– плотность воды. В уравнениях (*) и (**) две неизвестных величины –Wи_k, поэтому выразим из (*)Wи подставим выражения для него в (**) W = ; после подстановки в (**)или илиили, откуда. В последней формуле килограммы не обязательно переводить в ньютоны, так как эти переводные множители одинаковые в числителе и в знаменателе и сокращаются. Подставляя числовые данные, получим=1497,5 кг/м³. Из последнего расчета видно, что слагаемым, учитывающим архимедову силу в воздухе, можно пренебречь.

3.66 [1]. После установки груза система груз + понтон пришла в равновесие, следовательно, вес груза, направленный вниз, уравновесился выталкивающей силой, направленной вверх. Выталкивающая сила возникла из-за погружения понтона на глубинуhи дополнительно при этом вытесненный объем жидкости. Вес груза определяется из уравнения. Подставляя числовые значения, получим (в ньютонах)=88,96 кН.

3.67 [1]. Чтобы затопить трубу, необходимо выполнить условие: вес одного погонного метра трубы вместе с балластом должен быть больше архимедовой силы, возникающей по причине погружения трубы и балласта. Сила Архимеда равна, где_в– плотность воды,l= 1 м,W_б– объем балласта, приходящийся на 1 погонный метр трубы. Приравнивая вес балласта и архимедову силу, получаем, где_б– плотность бетона. В задаче ничего не говорится о весе трубы, можно предположить, что вес трубы будет являться силой, заставляющей опускаться трубу. Для типового решения принять, что плотность бетона_б= 2500 кг/м³.

3.68 [2]. Под водой железный шар теряет в весе за счет архимедовой силы, равной произведению объема шара на плотность воды и на ускорение свободного падения. Разность веса и архимедовой силы должна быть равна 509,81(Н).

,где W– объем шара, или.

Масса шара равна =57,3 кг. Примем, что_ш= 7800 кг/м³,_в= 1000 кг/м³.

3.69 [4]. Сила, действующая на брусок, полностью погруженный в воду, и способная удержать его от всплытия, равна разности архимедовой силы и веса бруска. Архимедова силаF_A = _вglS, вес брускаG = _дglS. Искомая сила равна=28637,8 Н.

3.70[2]. Определяем объем, который займет водород. Запишем уравнение состояния идеального газарW = mRT,p = 760 мм рт.ст. = 101,325 кПа.Т= 237,15 +15= 288,15 К, – универсальная газовая постоянная. =102,04 кг.

Определяем объем водорода = = 2412,6 м³.

Подъемная сила с учетом веса водорода будет равна

=28637,8 Н.

3.71 [1]. Воздушный шар может начать подниматься при условии, если сумма веса полезного груза и веса газа будут равны архимедовой силе.

Вес газа равен G_Г = ₂gW, где W – объем шара, ₂ – плотность газа, заполняющего шар. Архимедова сила равна F_A = _вgW, _в – плотность воздуха. Неизвестный объем шара определяем из уравнения _вgW–₂gW = G или Wg(_в–₂) = G, откуда . Подставляя числовые значения, получим=1397,1 м³.

3.72 [2]. В данном случае объем аэростата и плотность водорода в течение полета не изменяются. В наивысшей точке подъема аэростата его вес и архимедова сила будут равны (когда аэростат поднимается, архимедова сила, очевидно, больше веса). Таким образом, в наивысшей точке подъемаWg(_возд–_водор) = G, откудаили, подставляя в последнюю зависимость числовые значения, получим=0,467 кг/м³.

3.75[21]. Плотность воска_вбольше плотности масла_м,_в>_м, поэтому воск полностью погрузится в масло, но плотность воды_водбольше, чем плотность воска, поэтому он частично погрузится в воду, как показано на рисунке. Вес воска будет уравновешиваться суммой архимедовых сил, возникающих за счет вытеснения частями объема воска масла и воды. Допустим, что объем воскаW, в масле находится объемW₁, в воде – объемW–W₁. Тогда вес воска_вgW, архимедова сила, возникающая в масле,_мgW₁, в воде –_водg (W–W₁), составляем уравнение равновесия_вgW = _мgW₁+_водg (W–W₁), сокращая наgи раскрывая скобки_вW = _мW₁+_водW–_водW₁), группируя слагаемые, получимили.

Подставляя числовые значения, получим .

3.76 [3]. Так как плотность_к > ₁, то кубик полностью погрузится в жидкость с плотностью₁. Плотность₂ > _к, поэтому кубик плавает в жидкости с плотностью₂, как показано на рисунке. Вес кубикаG = _кgW=_кgа³, гдеW = a³ – объем кубика. На кубик действует, кроме веса, выталкивающая архимедова силаF_А, которая равна сумме сил, возникающих в средах с плотностями₁и₂. Допустим, что– объем кубика в жидкости с плотностью₁,– объем кубика в жидкости с плотностью₂.

Следовательно . Из равенстваG = F_Аполучим значениеh.

3.77 [2].  На клапан К действует сила F = PS, где  – площадь сечения трубы. На шар, погруженный в воду, действует архимедова сила F_A = _вgW, где W =– объем шара. Если шар не полностью погружен в воду, тоF_A становится меньше. Чтобы рычаг аb находился в равновесии (в горизонтальном положении), момент силы F относительно точки О должен быть меньше момента, создаваемого силой F_A относительно точки О. Получим в результате , откуда следует.

3.78[1]. Клапан откроется при условииF_Aр, гдеF_A– архимедова сила, действующая на поплавок,P– суммарная сила, состоящая из веса поплавка с тягойGи сила давления жидкости на клапан. Архимедова сила равнаF_A=_вgW, где – объем погруженной части поплавка, сила давления жидкости на клапан равна. Условие открытия клапана будет иметь вид .

3.79. Проведем сечениеI–Iна уровне нижней кромки малого поршня в левом колене (на линииI–I):Р₁=F₁/(d²/4). Давление на линии сравненияI–Iв правом коленеР₂=g H d²/4+4F₂/(D²). Система находится в равновесии, следовательноP₁=P₂.

Из последнего равенства находим:

F₂=F₁D²/d²–g h D²/4.

Принимая плотность масла  = 720 кг/м³, получим значение F₂: F₂ = 202(250/50)²–7209,010,43,14(0,25)²/4 = 4911,53 Н.

3.80. Указание. Сила, действующая на большой поршень, передается на малый поршень, т.е.F₁=F₂. Выражения для сил имеют вид:F₁=Р_изб D²/40,85/F₂=Рd²/4. ПриравнявF₁=F₂, определим величинуР.

3.81. Указание.Сила давления воды на поршень в цилиндре водяного насоса уравновешивается силой, создаваемой давлением параР_n. Исходное уравнение имеет видg H d₂²/4 =Р_n d₁²/4.

3.82 [2].Указание.Давление паров бензина над поршнем и давление столба бензина уравновешиваются атмосферным давлением, т.е.Р_б+g H =Р_ат.

3.83 [7]. Указание. Сила давления на поршень справа F_сп = р₁  D²/4, сила давления на поршень слева F_сл = р_ат ( D²/4– d²/4). Сила, действующая на шток, F = F_сп–F_сл.

3.84. Определим силу, действующую на малый поршень. Для этого составим уравнение моментов сил относительно шарнирной точки:Gℓ =G₁а. В данном случаеG₁– величина силы, действующей на поршень. Из уравнения моментов определяемG₁=Gℓ/а. СилаG₁действует на поршень, создавая давлениер₁. ВеличинаG₁и давление под поршнем связаны зависимостьюG₁ =S₁р₁=d2/4р₁, гдеS₁– площадь малого поршня. Из двух последних уравнений получаемd 2/4р₁=Gℓ/а. Определяем давлениер₁=Gℓ/а4/(d₂). Давлениер₁передается всему объему жидкости, следовательно оно будет действовать на поверхность большого поршня. Определяем усилие, развивающееся большим поршнем,G₂=р₁D2/4 =Gℓ/а(D/d)².

Подставляя численные значения, получим G₂= 640000 Н.