3.1. Подобие потоков в случае преобладающего влияния сил тяжести

Примерами таких явлений будут истечение через водосливы, волновые процессы на воде и т. д.

Если Р – сила тяжести, то

P = ρ · g · W

Из (2.6) следует

или

(3.1)

.

Отношение (3.1) представляют как

F

(3.2)

_rH = F_rM

Безразмерный параметр V²/gl называется критерием Фруда, он служит критерием подобия в случае преимущественного действия сил тяжести.

Число Фруда можно интерпретировать как отношение местной скорости потока к скорости распространения малых возмущений (волн).

Задача 3.1: Вывести соотношения подобия между скоростями, расходами, силами, гидростатическими давлениями, уклонами дна и коэффициентами Шези при выполнении равенства (3.2):F_rH=F_2M

Решение: Из (3.2) приg_H=g_M имеем

, откуда .

Из формулы дляполучаем

откуда .

Для сил выполняются соотношения ипоэтому

Для гидростатического давления Р

Для уклонов дна на натуре и на модели

, т. е. I_H=I_M

для коэффициентов Шези С_Ни С_М

, поэтому С_Н= С_М

3.2. Подобие потоков в случае преобладания сил трения

Такой случай характерен, например, для напорного движения жидкости в горизонтальном трубопроводе или для открытого канала (без локальных деформаций свободной поверхности).

Силы трения можно представить в виде

F_тр = τ₀ · L²,

где τ₀ – касательное напряжение на стенке.

При этом основное условие динамического подобия (2.6) примет вид

или

Учитывая ранее выведенное соотношение

где U_* - динамическая скорость, получим

Учитывая также, что имеем окончательно

λ_Н = λ_М,

т. е. равномерные потоки будут динамически подобны, если коэффициенты гидравлического трения для этих потоков равны. Если касательные напряжения определяются законом трения Ньютона, то

Учитывая, что последнее равенство перейдет в

подставляя которое в (2.6) получим

или

Параметр ^VL/ν есть число Рейнольдса; величина L может быть любым характерным линейным размером, связанным с условиями движения. Поэтому последнее равенство можно записать в виде

Re_H = Re_M .

Таким образом, для получения динамического подобия при преобладании сил вязкого трения должно соблюдаться равенство чисел Рейнольдса на натуре и на модели. В этом заключается закон подобия Рейнольдса.

Задача 3.2.1.Нефть течет в трубе диаметром Д = 200 мм; расход ее равен 30 л/с. необходимо определить расход воды в модельной установке – трубе диаметромd= 100 мм – при условии, что движение в обеих трубах должно быть гидродинамически подобным. Коэффициенты кинематической вязкости нефти и воды равны соответственно ν_н= 0,12 м²/с, ν_в= 0,01 м²/с.

Ответ:Q= 1,25 л/с.Указание: Принять, чтоRe_H=Re_M.

3.3. Подобие потоков в случае преобладающего влияния сжимаемости жидкости

При обтекании тел потоками газа, движущегося с большой скоростью (более 100м/с) или при движении газа в каналах он ведет себя как сжимаемое тело (газ сжимается и изменяется его плотность). В этом случае критерием подобия является отношение скорости V к скорости звука в газе

(3.3.1)

.

Безразмерная величина V/C называется числом Маха

M = V/C

Поэтому условие (3.3.1) можно записать в виде

М_Н = М_М .

Таким образом, для достижения динамического подобия в этих условиях должно соблюдаться равенство чисел Маха в натуре и на модели. Заметим, что число Маха можно представить как отношение местной скорости потока к местной скорости распространения малых возмущений.