книги / 639

6.Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Shveykin A.I. Elastoplastic analysis of deformation of fcc metals [Analiz deformirovania GCK-metallov s ispolzovaniem fizicheskoi teorii plastichnosti] // Physical Mesomechanics. 2010. Vol. 13, No. 3. P. 21–30.

7.Shveykin A.I., Ashikhmin V.N., Trusov P.V. Models of lattice rotation during deformation of metals [O modeliah rotacii reshetki pri deformirovanii metallov] // Herald PSTU. Mechanic. 2010. No. 1. P. 111–127.

Об авторах

Кондратьев Никита Сергеевич (Пермь, Россия) – ассистент кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического универ-

ситета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: KondratevNS@gmail.com).

Трусов Петр Валентинович (Пермь, Россия) – доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь,

Комсомольский пр., 29, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).

About the authors

Kondratev Nikita Sergeevich (Perm, Russia) – Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, Perm, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: KondratevNS@gmail.com).

Trusov Petr Valentinovich (Perm, Russia) – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, Perm, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).

Получено 28.10.2011

141

УДК 539.3

C.А. Лурье1, А.А. Касимовский2, Ю.О. Соляев1, Д.Д. Иванова2

1Институт прикладной механики РАН, Москва, Россия 2Исследовательский центр им. М.В. Келдыша, Москва, Россия

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО КОНСТРУКЦИОННОГО МАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ КЕРАМИКИ SIC, АРМИРОВАННОЙ УГЛЕРОДНЫМИ НАНОТРУБКАМИ

Рассматривается композит на основе карбида кремния, армированный углеродными нанотрубками. Эффективные термоупругие характеристики композита рассчитываются в предположении, что нанотрубки концентрируются на границах зерен. Для расчёта привлекаются прикладные варианты градиентной теории упругости и теплопроводности. Приводится пример расчёта элемента конструкции, указывающий на возможную перспективность использования подобных керамических материалов.

Ключевые слова: градиентная теория упругости, градиентная теплопроводность, керамика, нанотрубки, эффективные свойства, прочность.

S.A. Lurie1, А.А. Kasimovskiy2, J.O. Soliaev1, D.D. Ivanova2

1Institution of Russian academy of science Institute of applied mechnics RAS, Moscow, Russia 2FSUE Keldysh Research Centre, Moscow, Russia

MODELING OF HIGH STRUCTURAL

MATERIAL BASED ON CERAMIC SIC, REINFORCED

WITH CARBON NANOTUBES

We consider a composite material based on silicon carbide reinforced with carbon nanotubes. Effective thermoelastic characteristics of the composite are calculated on the assumption that the nanotubes are concentrated at the boundaries of grains. Applied gradient theory of elasticity and thermal conductivity are used for calculations. It is given an example of calculation of the element of construction, which indicates the possible prospects of the use of such ceramic materials.

Keywords: strain-gradient elasticity, gradient thermal conductivity, ceramic, nanotubes, effective properties, strength.

Введение

Стенки неохлаждаемых камер сгорания жидкостных реактивных двигателей малой тяги (ЖРДМТ) при эксплуатации нагреваются до максимально высоких для используемого конструкционного материала температур. Чем выше температура в камере сгорания, тем выше тех-

142

нические характеристики двигателя. Поэтому стоит задача разработки материалов, сохраняющих высокие прочностные характеристики при как можно более высоких температурах.

Керамики являются перспективным классом высокотемпературных материалов. Известно, что армирование керамик углеродными нанотрубками (УНТ) приводит к увеличению как предела прочности на изгиб, так и трещиностойкости [1]. В связи с этим представляет большой интерес исследование возможности применения армированных УНТ керамических композитов в качестве, например, конструкционного материала камеры сгорания ЖРД.

В настоящей работе изучается деформирование исследуемого материала, находящегося в условиях стационарного силового и температурного воздействий, соответствующих эксплуатационным режимам типовой камеры сгорания ЖРД. Рассматривается нанокомпозит на основе карбида кремния с размером зерна 250 нм, армированный углеродными нанотрубками (SiC-УНТ). Эффективные физико-механичес- кие характеристики композита предлагается рассчитывать в рамках прикладных градиентных моделей теории упругости [2–4]. В результате предлагается процедура прогноза эффективных характеристик керамического материала: модуля Юнга, модуля сдвига, коэффициента температурного расширения (КТР), коэффициента теплопроводности и предела прочности.

1. Моделирование эффективных термоупругих характеристик керамического зернистого материала, армированного углеродными нанотрубками

Известно из экспериментальных исследований, проводимых при изучении свойств высокотемпературных керамических материалов (см., например, [5, 6]), что в спечённой керамике, армированной УНТ, нанотрубки располагаются вокруг зёрен, образуя пространственную каркасную структуру. При этом существуют технологии, позволяющие добиться равномерного распределения УНТ по объёму керамики и плотного межзёренного контакта. Поэтому будем предполагать, что рассматриваемый композиционный материал состоит из двух компонентов: керамических зёрен и углеродных нанотрубок, между которыми реализуется идеальный контакт. Пористость присутствует только внутри зёрен керамики. Исходные физико-механические характери-

143

стики фаз композита берутся из литературных источников [5–13] и приведены в табл. 1. Отметим, что для моделирования взяты средние значения свойств нанотрубок и керамики, характерные для современного уровня развития технологий.

Для определения эффективных характеристик композита SiCУНТ будем рассматривать одномерную модель слоистой среды, нагруженной перпендикулярно слоям, в рамках градиентной термоупругости и градиентной теплопроводности. Выберем двухфазный представительный фрагмент с последовательным расположением фаз: свойства первой фазы определяются свойствами керамического зерна, а ее протяженность равна характерному диаметру зерна D; вторая фаза имеет протяженность d и состоит из углеродных нанотрубок (УНТ). Как правило, между зёрнами реализуется специальная структура, в которой находится не одна, а пучок нанотрубок. В качестве приближённой модели будем считать, что свойства такого пучка нанотрубок близки свойствам углеродной нанотрубки.

Эффективные упругие модули рассматриваемой среды будем определять по следующей формуле, полученной в рамках градиентной теории упругости [14, 16]:

(С1κ) th(κd) +(С2κ) th(κD)

где Сeff – искомый эффективный модуль Юнга или эффективный модуль сдвига среды (ГПа), С1,С2 – соответствующие модули упругости

144

фаз (керамики и УНТ) (ГПа), κ – градиентный параметр модели, связанный в рассматриваемой задаче с локальным изменением морфологии керамических зёрен в области контакта с УНТ (1/м). Будем предполагать, что зависимость эффективных различных эффективных модулей может быть приближённо описана одним значением градиентного параметра, хотя вобщем случае значения могут различаться.

Отметим, что выражение (1) сводится к классической формуле смеси при κ→∞, что соответствует отсутствию изменений в морфологии зёрен керамики при контакте с УНТ:

При определении эффективных модулей упругости композита учтем влияние пористости на значения исходного модуля упругости керамических зёрен. Используя теорию сред с сохраняющимися дислокациями [4], можно показать, что влияние пористости в среде приводит к уменьшению объёмного модуля среды и может быть учтено по следующей формуле:

где K1 – объёмный модуль пористой керамической фазы, K10 – модуль беспористой керамики, f п – объёмное содержание пор, Kп – коэффи-

циент взаимовлияния деформаций пор и сплошного материала среды, который по своему смыслу является дополнительным физическим модулем модели.

Заметим, что в справочниках [7, 8] приведены соотношения для учета пористости, которые аналогичны уравнению (3).

Предположим, что коэффициент Пуассона зёрен керамики незначительно зависит от объёмного содержания пор (для объёмной доли пористости менее 10 %). Тогда влияние пористости на модуль Юнга и сдвига может быть рассчитано с использованием стандартных формул связи модулей упругости:

E1 =3K1 (1−2ν1 ), (4)

G1 =3K1 (1−2ν1 ) (2+2ν1 ).

145

Здесь E1,G1 – модуль Юнга и модуль сдвига зёрен керамики, K1 – объ-

ёмный модуль зёрен, найденный по формуле (3).

Эффективный коэффициент температурного расширения композита, в первом приближении, предлагается определять по классической формуле Левина [15]

где K1, K2 α1,α2 – объёмные модули и КТР зёрен керамики, и УНТ со-

ответственно. Keff =Eeff Geff (9Geff −3Eeff ) – эффективный объёмный модуль, модули – вычисляются по формуле (1).

Учёт градиентных эффектов при определении приведёт

в итоге к учёту масштабных факторов при определении эффективного КТР нанокомпозита. Отметим также, что учет пористости осуществляется через зависимость объёмного модуля K1 от f п (3).

2. Градиентная модель теплопроводности. Определение эффективного коэффициента теплопроводности

В данной работе предполагается также вычислить и эффективное значение коэффициента теплопроводности, используя вариант градиентной теории теплопроводности. Постановка задачи теплопроводности, позволяющей учесть масштабные эффекты, осуществляется с математической точки зрения аналогично постановке задачи градиентной теории упругости. Лагранжиан модели градиентной теплопроводности может быть записан в виде

скалярное поле (плотности тепловых источников). Легко установить,

146

где keff – искомый эффективный коэффициент теплопроводности ком-

позита (Вт м−1 К−1 ); k1, k2 – коэффициенты теплопроводности фаз

(керамики и УНТ) (Вт м−1 К−1 ); κТ – градиентный параметр модели, определяющий масштаб градиентных эффектов по отношению к температурному воздействиию в области контакта керамических зёрен с УНТ (1м).

Отметим, что формула (6) также сводится к классическому выраже-

3. Об оценке прочности композита SiC-УНТ

Керамические материалы, в том числе армированные УНТ, почти не обладают пластическими свойствами. Поэтому можно считать, что прочность рассматриваемого композита определяется прочностью «слабой» фазы. В нашем случае будем считать, что прочность керамики определяется прочностью зерна. Будем предполагать, что разрушение рассматриваемого конструкционного керамического материала наступает в том случае, когда полные напряжения (рассчитанные с учетом градиентных эффектов) в зёрнах керамики достигают предела прочности.

На первом этапе решается задача уточнённого определения на- пряжённо-деформированного состояния в рамках одномерной постановки градиентной модели с учётом локальных градиентных эффектов. Контактная задача в рамках одномерной постановки градиентной теории упругости имеет следующий вид.

Уравнения равновесия в фазе зерна (от 0 до D) и фазе нанотрубок (от D до D+d):

Граничные условия понапряжениям по моментным напряжениям:

148

В приведённой постановке использованы следующие обозначения: r1=r1(x), r2=r2(x) – перемещения в фазе УНТ и в зерне керамики соответственно; σ1,σ2 – классические напряжения в фазе УНТ и в зер-

не керамики; m1, m2 – моментные напряжения в фазе УНТ и в зерне ке-

рамики; p – внешняя заданная распределённая нагрузка (растягивающие напряжения).

Соотношения закона Гука для классических и моментных напряжений в рамках градиентной модели имеют вид [16]

В записанных уравнениях (9)–(13) величины с индексом 1 относятся

кфазе зёрен керамики, а величины с индексом 2 относятся к фазе УНТ. После решения задачи (9)–(13) в перемещениях напряжения в фа-

зах композита находятся по формулам (13). Далее находим внешние усилия p, при которых в зёрнах керамики наступает разрушение, то есть выполняется условие

σ1 = σB1.

Найденное значение р будет определять предел прочность композита σB . Отметим, что внешние усилия являются параметром задачи. Предельное значение этого параметра может быть найдено в аналити-

149

ческой форме. В отличие от классической теории упругости в рамках градиентной теории напряжения в последовательно соединённых фазах не будут постоянными и равными внешним напряжениям. Вследствие влияния градиентных эффектов, концентрирующихся в области границ фаз, напряжения будут отклоняться от классического распределения. Характерный вид распределения полных напряжений (13) в рамках градиентной модели представлен на рис. 1. При этом выполняется условие непрерывности классической части напряжений (12), которые входят в постановку контактной задачи.

Рис. 1. Характерное распределение напряжений в области контакта фаз. Сплошная линия – градиентная модель, пунктир – классическое решение

Из рис. 1 видно, что в рамках градиентной модели напряжения в керамическом зерне ниже уровня напряжений классической модели и, следовательно, предел прочности в данной фазе будет достигнут при более высоком уровне внешних напряжений. Таким образом, модель позволяет прогнозировать повышение предела прочности композита.

Следует учесть, что прочность керамических зёрен с увеличением объёмной доли пористости снижается. Известны различные эмпирические зависимости предела прочности от значения пористости [7]. Для первичных оценок будем использовать линейную зависимость

σB1 = σ0B1 (1−3 f п ).

Здесь σ0B1 – предел прочности керамики без пористости, приведённый в табл. 1, σB1 – предел прочности керамической фазы с учётом порис-

тости. Коэффициент 3 в записанной выше формуле принят для керамики на основе SiC [7].

150