книги / 639

Используя третью пару корней, следующую из (46),

r1 =±ϕCαmα , r2 =±ϕCα±α ,

найдем, что для α<1 в области устойчивости медленной волны горения Reϕ<0 появляется неустойчивая волна механических возмущений

при условии C <α<1. Если α<C <1, то

r1 =−ϕCα+α , r2 =−ϕCα−α

и уравнение для частоты φ принимает вид

ϕ2 (C2 +C1 )+ϕ(C2 +1)z1 +z1 =0 , C1 = Cα−α , C2 = Cα+α .

Сверхзвуковая волна в этом случае также не реализуется.

3. Если ω≠0 , но α=k =0 , то β= z1 −z2θb ; q = z2θb и β+1−αq 2 = z1 и

где δ=ω(θb +σ).

Подставляя (50) в (40), найдем уравнение для комплексной частоты ϕ :

Критическое условие потери устойчивости следует из соотноше-

ния

111

Если z2 >0 , то влияние механических напряжений приводит к снижению предела устойчивости медленной волны горения, α<1. Ес-

112

113

Соответствующая область отделена на рис. 4 пунктирной линией. Для указанных на рисунке значений α имеем z1M =0,65; 1,066; 1,293 .

Область устойчивости механической волны пренебрежимо мала или практически не существует.

5. Пусть теперь ω=α= z2 =0 , но k ≠0 , т.е. возмущения – двумерные. Имеем для декрементов

Очевидно, одна группа корней будет соответствовать медленной волне горения, вторая – механической волне, порожденной тепловой волной. Из предыдущего ясно, что сверхзвуковые режимы в несвязанной модели не реализуются. Поэтому ограничим рассмотрение одним частным вариантом

(ϕ±ri −ri2 +k2 )=0 ,

откуда находим

Уравнение для комплексной частоты ϕ в этом случае принимает

вид

или

16ϕ3 +4ϕ2 1+4z1 −z12 +m2 +4ϕz1 1+m2 +m2 z12 =0 , где m =4k2 ,

откуда следует результат работы [32], что еще раз говорит в пользу достоверности модели. Аналогично [32], полагая ϕ=±iψ, найдем границу области устойчивости:

114

6. Аналитически точно разрешается аналогичный вариант задачи, но с учетом влияния напряжений на скорость реакции. То есть примем ω=α=0 , но k ≠0 ; z2 ≠0 . В этом случае имеем для декрементов урав-

нения (56). Как и в одномерном случае, при α=0 результат не зависит от коэффициента чувствительности скорости реакции к работе напряжений и для первой группы корней имеет вид (59).

Подставляя в уравнение

ϕ(r1 +r2 )+z1 [r1 −ϕ−1]=0 ,

следующее из (40), ϕ=±iψ, найдем

r1 = 1 ;r2 = z1 − 1 . z1 z1

Тогда из равенства

(ri2 −C2k2 )(C2ri2 −k2 )+k2ri2 (1−C2 )2 =0

найдем два уравнения

дающих границу области устойчивости механических волн, порождаемых волной горения (но не оказывающих на нее непосредственного влияния).

Сверхзвуковые режимы здесь, очевидно, не реализуются (α=0).

Анализ показывает, что уравнение (62) имеет единственное решение при k =0 : когда z1 =1, функция Y имеет минимум Y =0 . Для любого k >0 имеем Y >0 , минимальное значение Y положительно и лежит ниже z1 =1. Это означает, что механические двумерные неустойчивости не появляются.

Очевидно, что устойчивым можно считать режим превращения в области параметров, соответствующих устойчивости как тепловых (химических), так и механических волн.

7. Пусть ω=0 , но k ≠0 ; z2 ≠0 ; α≠0 . В этом случае γ=1, δ=0 , а уравнения для декрементов и комплексной частоты ϕ принимают вид

(ϕ±ri −ri2 +k2 ) (ri2 −C2k2 −α2 (ϕ±ri )2 )(C2ri2 −k2 −α2 (ϕ±ri )2 )+

+k2ri2 (1−C2 )2 =0,

где s = z1 +z2 2α2 2 .

(1−α2 )

Как и выше, первая группа корней дает результат (59), (60) для обобщенного параметра чувствительности s:

На рис. 5 представлена зависимость верхнего (а) и нижнего (б) пределов устойчивого горения от волнового числа при различных значениях параметра z2 .

а б

Рис. 5. Пределы устойчивости в зависимости от волнового числа z2 =−2 (1); z2 =−3 (2); z2 =−4 (3)

Если z2 >0 , то существует только верхний предел устойчивого горения, причем работа напряжений сужает область устойчивости. Если же z2 <0 , т.е. скорость реакции уменьшается под действием напряжений,

то, начиная с некоторого значения, появляется нижний предел, также зависящий от волнового числа, и может оказаться так, что фронт превращения будет более устойчив к двумерным возмущениям, чем к одномерным. В этом случае напряжения приводят к расширению области устойчивости по сравнению с чисто тепловой моделью. Частота на границе устойчивости, как и в чисто тепловой модели, чисто мнимая, т.е. потеря устойчивости носит колебательный характер. Границу колебательной и экспоненциальной неустойчивостей дает вещественный корень уравнения (76), где вместо z1 стоит обобщенный параметр s.

Очевидно, что в области z2 <0 таких границ также будет две, что на рисунках не показано.

Заключение

Вработе показана применимость моделей твердофазного горения

кописанию режимов превращения в современных технологиях нанесения покрытий и соединения материалов. Сформулирована задача об

117

устойчивости волн превращения в условиях, типичных для технологий, в том числе в условиях плоского деформированного и плоского напряженного состояний. Показано, что в этих ситуациях оказываются различными даже характеристики стационарных режимов. Методом малых возмущений исследована задача об устойчивости фронта превращения в твердой фазе к двумерным возмущениям в условиях плоской деформации. Показано, что существует два предела устойчивого горения по коэффициенту чувствительности скорости реакции к температуре, если скорость реакции может уменьшаться под действием напряжений. В противоположной ситуации работа механических напряжений сужает область устойчивого горения, в том числе за счет появления неустойчивости поперечных механических волн. Обнаружено, что существует область физических параметров, в которой фронт превращения более устойчив к двумерным возмущениям, нежели к одномерным. Представлены зависимости пределов устойчивого горения от параметров модели.

Библиографический список

1.Болдырев В.В. Реакционная способность твердых веществ (на примере реакции термического разложения) / Рос. акад. наук, Сиб. отд., Ин-т твердого тела и перераб. минер. сырья. – Новосибирск, 1997. – 303 с.

2.Мержанов А.Г., Мукасьян А.С. Твердопламенное горение. –

М.: ТОРУС-ПРЕСС, 2007. – 336 с.

3.Тимохин А.М., Князева А.Г. Режимы распространения фронта твердофазной реакции в связной термомеханической модели твердофазного горения // Химическая физика. – 1996. – Т. 15, № 10. –

С. 1497–1514.

4.Князева А.Г. Решение задачи термоупругости в форме бегущей волны и его приложение к анализу возможных режимов твердофазных превращений // ПМТФ. – 2003. – Т. 44, № 2. – С. 26–38.

5.Князева А.Г. Приложение макрокинетики к моделированию технологических процессов // Физическая мезомеханика: материалы междунар. конф. по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов. 23–28 августа, Томск, 2004. – Т. 7. – Спец. вып. Ч. 1. – С. 12–15.

6.Князева А.Г. Распространение волны горения в деформируемой сплошной среде // Физ. гор. и взр. – 1993. – Т. 29, № 3. – С. 48–53.

118

7.Мержанов А.Г., Хайкин Б.И. Теория волн горения в гомогенных средах. – Черноголовка: ИСМ АН, 1992. – 162 с.

8.Новожилов Б.В. Скорость распространения фронта экзотермической реакции в конденсированной среде // Докл. АН СССР, 1961. –

Т. 141, № 1. – С. 151–153.

9.Чащина А.А., Князева А.Г. Режимы распространения твердофазной реакции в щели между двумя инертными пластинами // Физическая мезомеханика: материалы междунар. конф. по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых мате-

риалов. 23–28 августа, Томск, 2004. – Т. 7. Спец. вып. Ч. 1. – С.82–85.

10.Шкадинский К.Г., Хайкин Б.И. Влияние теплопотерь на распространение фронта экзотермической реакции в k -фазе // Горение и взрыв. – М.: Наука, 1972. – С. 104–109.

11.Князева А.Г., Поболь И.Л. Гордиенко А.И. Coating formation in SHS-regime during thermal treatment of material by moving energy source // 7-th International Conference on modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Tomsk, 25–30 July 2004, pp. 178–183.

12.Коваленко А.Д. Термоупругость. – Киев: Вища школа, 1975. –

216 с.

13.Мелан Э, Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. – М.: ИЛ, 1958. – 167 с.

14.Боли Б., Уайнер А. Теория температурных напряжений. – М.:

Мир, 1964. – 517 с.

15.Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. – М.:

Мир, 1970. – 256 с.

16.Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. – М.:

Мир, 1972. – 184 с.

17.Князева А.Г. Скорость фронта простейшей твердофазной химической реакции и внутренние механические напряжения // Физ. гор.

ивзр. – 1994. – Т. 30, № 1. – С. 44–54.

18.Князева А.Г., Дюкарев Е.А. Стационарная волна химической реакции в деформируемой среде с конечным временем релаксации теплового потока // Физ. гор. и взр. – 1995. – Т. 31, № 3. – С. 37–46.

19.Knyazeva A.G., Timokhin A.M., Dyukarev E.A. Supersonic Regimes in the Solid Phase Combustion Models with Regard to the Thermomechanical Processes // Proc. of Second Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, V.K.Bulgakov, A.I.Karpov (Eds.) Khabarovsk State University, September, 13–17, 1995. – P. 210–221.

119

20.Дюкарев Е.А., Князева А.Г. Термомеханическая модель распространения фронта никотемпературной реакции хлорирования хлористого бутила с учетом разрушения // Химическая физика процессов горения и взрыва: XI симпозиум по горению и взрыву. – Черноголовка:

Изд-во ОИХФ, 1996. – Т. 2. – С. 72–76.

21.Князева А.Г., Дюкарев Е.А. О режимах твердофазного разложения одиночных кристаллов инициирующих взрывчатых веществ // Физическая мезомеханика. – 2000. – Т. 3, № 3. – С. 97–106.

22.Князева А.Г., Дюкарев Е.А. Модель распространения стационарного фронта превращения в вязкоупругой среде // Физика горения и взрыва. – 2000. – Т. 36, № 4. – С. 41–51.

23.Князева А.Г., Сорокова С.Н. Стационарные режимы превращения в вязкоупругой среде // ФГВ. – 2006. – Т. 42, №5. – С. 63–73.

24.Князева А.Г. Влияние реологических свойств среды на харак-

теристики зажигания и горения // Unsteady combustion and interior ballistic. Vol. 1, proceeding of Int. Workshop. – СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2001. – C. 30–40.

25.Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of detonation of lead aside (PbN3) with regard to fracture // Int J. of Fracture, 1999. – Vol. 100, No. 2. – P. 197–205.

26.Князева А.Г., Дюкарев Е.А. Модель автоволнового распространения твердофазной реакции низкотемпературного хлорирования хлористого бутила // Физика горения и взрыва, 1998. – Т. 34, № 5. –

С. 84–94.

27.Князева А.Г., Чащина А.А. О термомеханической устойчивости фронта твердофазного превращения в щели между двумя инертными пластинами // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: тр. междунар. науч. конф., 8–11 октября, 2003, Хабаровск. – С. 111–121.

28.Князева А.Г., Сорокова С.Н. Устойчивость волны горения в вязкоупругой среде к малым одномерным возмущениям // ФГВ. – 2006,

Т. 42, №4. – С. 50–60.

29.Князева А.Г. Твердофазное горение в условиях плоского напряженного состояния 1. Стационарная волна горения // ПМТФ. – 2010. – № 2. – Т. 51. – С. 27–38.

30.Князева А.Г. Твердофазное горение в условиях плоского напряженного состояния. Устойчивость к малым возмущениям // ПМТФ. – 2010. – № 3, Т. 51. – С. 24–31.

120