книги / 639

т.е. разрыв в градиентах деформации и, следовательно, в градиентах скоростей зависит от параметров, характеризующих волну горения (проверяется непосредственной подстановкой).

В случае плоского напряженного состояния (см. рис. 1, б) в физических переменных стационарные уравнения принимают вид

уравнение для температуры продуктов

2Aθb2 +θb [2σA−1]+1=0 ,

где

101

и распределения деформаций, напряжений и температуры в стационарной волне горения

θ10 =θb exp[δX ], θ20 =θb ,

где

δ=1+ ω((2γ2 −)α2 )2 (θb +σ). γ2 1+γ1 −α

Рис. 2. Качественное распределение температуры (а, г), деформаций (б, д) и напряжений (в, е), перпендикулярных фронту невозмущенной волны в твердой фазе для медленного режима горения (а-в) и для твердофазной детонации (г–е). ω=0,3; γ1 =0,65; σ=0,15 .

Кривая 1 соответствует плоской деформации; кривая 2 – плоскому напряженному состоянию; X =Vn0 xκT ; фронт движется влево; α = 0,1 (a–в) и α = 2,5 (г–е)

Качественное распределение температуры, а также напряжений и деформаций, перпендикулярных направлению распространения фронта, в невозмущенной стационарной волне показано на рис. 2.

102

Как видно из рисунков, зона прогрева в случае плоской деформации меньше, чем в случае плоского напряженного состояния. Обнаружено, что существует область параметров модели, где стационарные режимы горения не существуют. Например, для ω=0,3; γ1 =0,65;

σ=0,15 , если α=0,1, стационарный режим существует и соответствует рис. 2 (а–в) для любого напряженно-деформированного состояния. Если α=1,2 , стационарный режим не существует для случая плоской деформации, но появляется для плоского напряженного состояния и характеризуется отрицательными значениями деформаций и напряжений, перпендикулярных фронту. Если α=2,5 , уравнение для температуры продуктов в случае плоской деформации (21) имеет два положительных решения, в то время как уравнение для температуры продуктов для случая плоского напряженного состояния – только одно. В соответствии с [19, 23, 27] в первом случае появляются двухтемпературные реакционные фронты. Но линейный анализ не позволяет описать эту сложную ситуацию. Низкотемпературная часть фронта показана на рис. 2 (г–е).

4. Задача для возмущений

Следующий этап решения задачи об устойчивости твердофазного фронта – формулировка задачи для возмущений. Также ограничимся подробным рассмотрением задачи, соответствующей рис. 1, а.

Допустим, что произошло искривление фронта реакции. Для возмущенной волны в случае плоской деформации справедливы уравнение (13) (линеаризованное при температуре продуктов), уравнения движения для случая плоской деформации (для компонент тензора деформаций ε11,ε22 ) и условие совместности для компоненты ε12 . В тех же самых

безразмерных переменных, что и для невозмущенной задачи (17), имеем

Уравнения, необходимые для определения оставшихся компонент тензоров напряжений и деформаций, отличных от нуля, принимают в этом случае вид

s11 =e11 −θ+γ1e22 ;

s22 =e22 −θ+γ1e11;

Уравнения (24)–(26) справедливы как за фронтом волны, так и перед ним.

Во фронте возмущенной волны X =ζ остаются справедливыми условия непрерывности температуры и деформаций

где Vn ,Vn0 – скорости возмущенной и невозмущенной волн.

Из условия непрерывности компоненты тензора напряжений и компоненты тензора деформаций, перпендикулярных фронту, и температуры следует непрерывность компоненты тензора деформаций e22 :

Полагаем, что в случае малых возмущений во фронте возмущенной волны остаются справедливыми соотношения, аналогичные (23). Тогда из (28) и первого соотношения (23) имеем еще два условия

104

Последним граничным условием будет условие полного потребления вещества в зоне реакции

Будем искать решение нестационарной задачи в виде

Подставляя (32) в нестационарную систему уравнений (24), учитывая решение невозмущенной (стационарной) задачи (19) и вводя для удобства обозначения

e110 =V10 ; e11' =V1' ; e220 =u10 ; e22' =u1'

для величин перед фронтом реакции и

e110 =V20 ; e11' =V2' ; e220 =u20 ; e22' =u2'

для величин за фронтом реакции, придем к задаче для возмущений, справедливой для случая плоской деформации:

где индекс i =1 относится к реагентам, а i =2 – к продуктам реакции. Для того чтобы записать линеаризованные граничные условия

для возмущений, представим скорость фронта в виде [31]

105

где Vn0 – скорость невозмущенного фронта, Π0 – температура и работа

напряжений в стационарной волне. Переходя к безразмерным переменным, найдем

циент чувствительности скорости реакции к работе напряжений. Для работы в безразмерных переменных оставлено то же обозначение, что

ив размерных переменных.

Сучетом этого условия во фронте возмущенной волны (27)–(31) линеаризованные относительно невозмущенной границы примут вид

106

В (35) учтено, что работу можно представить в виде

Π=Π0 +Π′ или Πs =Πs0 +Πs′,

где индекс s относится к границе раздела реагента и продукта.

С точностью до слагаемых второго порядка малости по возмущениям находим

Π's =2e110 e11' −θs′e110 −θs0 (e11′+e22′)+2γ1e110e22′

или в новых обозначениях

Π's =2V20V2' −θs′V20 −θs0 (V2′+u2′)+2γ1V20u2′.

Зададим возмущение фронта в виде

число; i – мнимая единица. Тогда возмущенные решения ищем в виде

где декремент затухания r1 и знак «+» соответствуют области 1 (ξ<0);

декремент затухания r2 и знак «–» – области 2 (ξ>0). Имеем

Подставляя (37) в систему уравнений для возмущений (33) для области реагентов и продуктов, найдем системы линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд возмущений f1, h1, g1 и

f2 , h2 , g2 . Условия разрешимости этих систем уравнений заключаются в равенстве нулю определителей из матриц коэффициентов

107

где δ=ω(θb +σ), i =1,2 . Если k =0 , уравнения дают условия разреши-

мости системы для возмущений в одномерной задаче.

Подставляя (37), (38) в линеаризованные граничные условия (35) и учитывая решение стационарной задачи (37), придем к системе семи уравнений, условие разрешимости которой есть