книги / 639
.pdfТеорема Клапейрона (11) позволяет из (6), при поле перемещений, удовлетворяющем (7), сформулировать лагранжиан для межфазного слоя, из которого следует вариационное уравнение (9)
|
|
1 |
∫∫∫ |
∂Rn |
|
Ri |
|
|
1 |
|
|
L = |
2 |
Eijnm ∂x |
|
|
|
dV = |
2 EijnmεijnmV = |
|
|||
|
∂x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
j |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂tij |
= |
2 |
∫∫∫ |
Cijnm11 εijnm |
+2Uij12tij +Uijnm22 tijtnm +Uijknml33 |
|
||||||
∂x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
∂tnm dV.
(12)
∂xl
Заметим, что первое слагаемое Cijnm11 εijnm в данной постановке
можно отбросить, так как при заданных перемещениях вариация этого слагаемого обращается в ноль в силу δεijnm =0 .
3. Прикладная теория межфазного слоя
Вариационное уравнение (9) и соответствующий ему лагранжиан (12) приводят в общем случае к системе девяти уравнений второго порядка и соответствующей краевой задаче, решение которой является достаточно сложным. Поэтому представляется целесообразным предложить упрощенную, прикладную, модель, содержащую меньшее количество неизвестных и меньшее количество физических параметров.
Первая цель достигается введением векторного потенциала для тензора дислокационной поврежденности:
|
|
|
|
|
|
t |
= |
∂ti |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
∂x j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Лагранжиан (12) при этом принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
∂t |
|
|
∂t |
n |
|
|
|
∂2t |
|
∂2t |
n |
|
|
|
L = |
∫ ∫ |
U12n t dF + |
|
U 22 |
i |
|
|
+U 33 |
|
|
i |
|
|
dV. |
(14) |
|||||
2 |
|
∂x |
|
|
∂x |
|
∂x ∂x |
|||||||||||||
|
ij j i |
∫∫∫ |
ijnm ∂x |
j |
|
ijknml ∂x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
j |
k |
|
m l |
|
||||
Обозначим Uij12n j =−Pit . Тогда с точностью до знака лагранжиан
(14) будет совпадать с лагранжианом градиентной модели Тупина [2], если трактовать вектор-потенциал ti как вектор дополнительных пере-
мещений в межфазном слое, а тензоры энергии Uijnm22 ,Uijknml33 как соответствующие тензоры модулей межфазного слоя.
11
|
∫ ∫ |
i i |
1 |
|
|
∂t |
|
|
∂t |
|
|
∂2t |
|
|
∂2t |
|
|
|
|
|
2 |
∫∫∫ |
ijnm ∂x |
|
|
∂x |
ijknml ∂x ∂x |
|
∂x ∂x |
|
|
||||||||
L = |
|
Ptt dF − |
|
U 22 |
i |
|
|
n |
+U 33 |
|
i |
|
|
n |
|
dV. |
(15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
m |
|
j |
k |
|
m |
|
l |
|
|
Специфика данной постановки заключается в том, что и «внешняя нагрузка» Pit , и «тензоры модулей» Uijnm22 ,Uijknml33 межфазного слоя зависят от деформированного состояния тела в целом εijnm (5), а также
от физических параметров дефектной среды фазы – тензоров модулей
Cijnm12 ,Cijnm22 ,Cijnm33 .
Вторая цель достигается введением «гипотезы пропорционально-
сти» тензоров C12 |
,C33 |
тензору C22 . |
|
|
|
ijnm |
ijnm |
|
ijnm |
|
|
|
C12 |
=kC22 |
C33 |
=h2C22 . |
(16) |
|
ijnm |
ijnm |
ijnm |
ijnm |
|
Таким образом, физические свойства межфазного слоя для каждой фазы определяются пятью параметрами: тремя компонентами изо-
тропного тензора Cijnm22 и введенными параметрами k , h , вместо девя-
ти параметров – компонентов тензоров Cijnm12 ,Cijnm22 ,Cijnm33 . Таким образом, показано, что механические свойства межфазного слоя относятся к разным объектам (тензорам Cijnm12 ,Cijnm22 ,Cijnm33 ) и не могут быть объединены. Межфазный слой для каждой фазы является изотропным неклассическим объектом, обладающим неклассическими механическими свойствами, которые в общем случае характеризуются девятью параметрами, а в приближенном (прикладном) варианте – пятью.
Библиографический список
1.Лурье С.А., Белов П.А. Теория сред с сохраняющимися дислокациями. Частные случаи: среды Коссера и Аэро-Кувшинского, пористые среды, среды с «двойникованием» / Современные проблемы механики гетерогенных сред: сб. тр. конф.; Ин-т прикл. механики РАН. –
М., 2005. – С. 235–268.
2.Lurie S.A., Belov P.A. Gradient theory of media with conserved dislocations: application to microstructure materials. BOOK series «Advances in Mechanics and Mathematics». Generalized Continua. Springer. – N. Y., 2010.
12
3.Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. J. Comp Mater Sci, A. – 2005. – Vol. 36(2). – P. 145–152.
4.Interphase layer theory and application in the mechanics of composite materials / S.A. Lurie, P.A. Belov, D.B. Volkov-Bogorodsky, N.P. Tuchkova // J. Mat. Sci. – 2006. – 41(20). – P. 6693–6707.
5.Eshelby’s inclusion problem in the gradient theory of elasticity. Applications to composite materials / S. Lurie, D. Volkov-Bogorodsky, A. Leontiev, E. Aifantis // International Journal of Engineering Science. – 2011. – Vol. 49. – P. 1517–1525.
6.Белов П.А., Лурье С.А. Континуальная теория адгезионных взаимодействий поврежденных сред // Механика композиционных ма-
териалов и конструкций. – 2009. – Т. 15, № 4. – С. 610–629.
References
1.Lurie S.A., Belov P.A. The theory of continuums with conserved dislocations. Particular cases: Cosserat and Aero-Kuvshinsky continuums, continuums with porous and twinning [Teorija sred s sohranjajuwimisja dislokacijami. Chastnye sluchai: sredy Kossera i Ajero-Kuvshinskogo, poristye sredy, sredy s "dvojnikovaniem"]. The collection of works of conference «Modern problems of mechanics of heterogeneous environments», 2005, Institute of Applied Mechanics of Russian Academy of Sciences, pp. 235–268.
2.Lurie S.A., Belov P.A. Gradient theory of media with conserved dislocations: application to microstruc-tured materials // One hundred years after the Cosserats. Series: Advances in Mechanics and Mathematics. 2010. Vol. 21. Maugin, G.A., Metrikine, A.V. (Eds.).1st Ed. Springer.pp. 223– 232.
3.Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. J. Comp Mater Sci, A. 2005. Vol. 36(2). 145–152.
4.Lurie S.A., Belov P.A., Volkov-Bogorodsky D.B., Tuchkova N.P. Interphase layer theory and application in the mechanics of composite materials // J. Mat. Sci. 2006. 41(20). P. 6693–6707.
5.Lurie S., Volkov-Bogorodsky D., Leontiev A., Aifantis E. Eshelby’s inclusion problem in the gradient theory of elasticity. Applications to composite materials // International Journal of Engineering Science. 2011. Vol. 49. Р. 1517–1525.
13
6. Belov P.A., Lurie S.A. The theory of adhesive interactions of the damaged continuums [Kontinual'naja teorija adgezionnyh vzaimodejstvij povrezhdennyh sred] // Мechanics of composite materials and designs. 2009. Vol. 15. No. 4. Р. 610–629.
Об авторах
Белов Петр Анатольевич (Москва, Россия) – кандидат физикоматематических наук, начальник отдела прочности ОАО «Московский машиностроительный экспериментальный завод – композиционные технологии» гос. концерна «РосТехнологии» (г. Москва, Магистраль-
ный проезд, д. 9., e-mail: BelovPA@yandex.ru).
About the authors
Belov Petr Anatolevich (Moscow, Russia) – PhD, Head of Stress and Resource Team JSC «Moscow Experimental Machine building Plant – Composite Technologies» (123290, 9, 1-st Magistralniy passage, Moscow, e-mail: BelovPA@yandex.ru).
Получено 28.10.2011
14
УДК 620.17
В.Э. Вильдеман, Т.В. Третьякова, Д.С. Лобанов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАКРИТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ОБРАЗЦАХ СПЕЦИАЛЬНОЙ УСЛОЖНЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОРРЕЛЯЦИИ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрены вопросы экспериментальных исследований условий реализации закритической стадии деформирования материалов с учетом свойств нагружающих систем, управление которыми осуществляется за счет использования опытных образцов специальной усложненной геометрии. Построены временные зависимости и поля продольных деформаций на основе применения метода корреляции цифровых изображений.
Ключевые слова: экспериментальная механика, закритическое деформирование, метод корреляции цифровых изображений, поля перемещений и деформаций, образец специальной усложненной конфигурации.
V.E. Vildeman, T.V. Tretyakova, D.S. Lobanov
State National Research Polytechnical University of Perm, Perm, Russia
TECHNIQUE OF EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF POSTCRITICAL DEFORMATION ON TEST SAMPLES
WITH SPECIAL COMPLICATED CONFIGURATION BY USING
DIGITAL IMAGE CORRELATION
Questions about experimental investigations of realization conditions of postcritical deformation stage were considered with a glance of loading system properties. Its control was carried out by using test samples with special complicated configuration. Time curves and axial strain fields were obtained by digital image correlation.
Keywords: experimental mechanics, postcritical deformation, digital image correlation, displacement and strain fields, specimen with a special complicated configuration.
Развитие научных основ уточненного прочностного анализа ответственных элементов конструкций связано с изучением такого важного механического явления, каким является деформационное разу-
15
прочнение материалов на закритической стадии, предшествующее моменту разрушения [1–9]. Диссипативные процессы неупругого деформирования, включая процессы образования и развития дефектов, структурного разрушения и трещинообразования, отражаются на деформационной кривой, приводя к её нелинейности, а на заключительной стадии являются причиной разупрочнения и появления ниспадающего участка на диаграмме. Комплексное экспериментальное и теоретическое изучение основных закономерностей данного явления создаёт условия для более адекватного прогнозирования условий разрушения деформируемых тел, использования деформационных резервов материалов, повышения несущей способности и живучести конструкций, а также для анализа возможностей управления процессами разрушения [10].
Ключевую роль в переходе от стадии равновесного накопления повреждений к неравновесной, лавинообразной, стадии разрушения материала играет взаимодействие деформируемого тела с нагружающей системой [5, 6]. При нулевой жёсткости нагружающей системы диаграмма деформирования обрывается в наивысшей точке, а в случае достаточной жёсткости – происходит стабилизация процесса накопления повреждений. В результате в зависимости от условий нагружения каждая точка на ниспадающей ветви диаграммы может соответствовать моменту потери несущей способности, происходящей в результате перехода от стабильной к неравновесной стадии процесса накопления повреждений [11].
С целью экспериментального изучения стадии деформационного разупрочнения материала в качестве объекта исследования был использован плоский образец специальной конфигурации, предложенный ранее в работе [12]. Образец, эскиз которого представлен на рис. 1, имеет два «Г-образных» сквозных выреза, образующих на оси образца перемычку, состоящую из двух последовательно расположенных участков: рабочей зоны образца 1 и контрольного участка 2, а также имеет два прямоугольных участка на периферии образца 3, 4. При этом периферийные участки 3 и 4, деформируясь одновременно с рабочей зоной образца 1, в процессе нагружения исполняют роль элементов, повышающих жёсткость нагружающей системы.
16
Рис. 1. Эскиз образца со специальной усложненной геометрией для изучения закритической стадии деформирования материала с учетом свойств нагружающих систем
При определенной конфигурации «Г-образных» вырезов в рабочей зоне 1 реализуется равновесная диаграмма деформирования исследуемого материала, т.е., изменяя ширину периферийных участков 3 и 4, можно управлять свойствами нагружающей системы в эксперименте. Данная методика позволит спрогнозировать степень частичной реализации ниспадающей ветви и момент разрушения материала в рабочей зоне образца [11].
При частичной реализации закритической стадии деформирования в рабочей зоне разрушение произойдет при деформации εlim
(в диапазоне εB ≤εlim ≤εp ), значение которой соответствует выполне-
нию равенства
df (ε) |
|
|
|
|
|
|
2Eb |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lp |
||||
|
|
|
= |
|
− |
|
|
dε |
|
|
a |
lp +lk |
|||
|
ε=ε |
lim |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
−L |
|
h |
−1 |
|
−1 |
l |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|||||||
− |
0 |
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
, |
(1) |
|
EB |
|
|
Eak |
||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E – модуль Юнга, h – толщина плоского образца.
При этом Rls – жесткость нагружающей системы, включающей
в себя испытательную машину и упругодеформируемые части образца, по отношению к рабочей зоне образца выражается следующей формулой:
17
|
l |
|
|
2Eb |
|
L |
−L |
|
h |
−1 |
|
−1 |
−1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||
Rls =h |
|
+ |
|
+ |
0 |
|
+ |
|
|
|
|
|
. |
|
Eak |
|
EB |
|
|
|
|||||||||
|
lp +lk |
|
|
R |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, с использованием функции σ= f (ε)
(2)
– аппроксима-
ции полной диаграммы – для опытного образца усложненной конфигурации приведены условия устойчивости закритического деформирования
иразрушения с учётом свойств нагружающихсистем [11].
Сцелью экспериментального исследования закономерностей закритического деформирования материала проведены испытания образцов специальной усложненной геометрии, обеспечивающей различную жёсткость нагружающей системы по отношению к рабочей зоне образца, при совместном использовании испытательного оборудования
ибесконтактных средств регистрации деформаций. Комплексное применение современных систем для испытания материалов является перспективным и позволяет определять механические свойства, изучать закономерности процессов деформирования и разрушения материалов, элементов конструкций в условиях сложного напряженного состояния
[10, 13, 14].
В настоящей работе рассмотрено применение трёхмерной цифровой оптической системы Vic-3D [13, 15], предназначенной для бесконтактного анализа полей перемещений и деформаций на поверхности исследуемых объектов и элементов конструкций. Математический аппарат видеосистемы основан на методе корреляции цифровых изображений [16].
Механические испытания на одноосное растяжение проводились на универсальной электромеханической испытательной машине In- stron-5882 совместно с использованием цифровой оптической системы Vic-3D и бесконтактного видеоэкстензометра Instron AVE (рис. 2). Нагружение осуществлялось при постоянной скорости 0,6 мм/мин. Геометрические параметры опытных образцов со специальной усложненной конфигурацией (см. рис. 1) подбирались таким образом, чтобы обеспечить различные значения жёсткости нагружающей системы по отношению к рабочей зоне 1 образца (таблица). Образцы изготовлены методом лазерной резки из нержавеющей стали 12Х18Н10Т листовой прокатки толщиной 1,5 мм.
18
Рис. 2. Проведение испытания на одноосное растяжение опытных образцов специальной усложненной геометрии: электромеханическая испытательная система Instron 5882 (1), цифровая оптическая система Vic-3D (2), бесконтактный видеоэкстензометр Instron AVE (3)
Размеры опытных образцов специальной усложненной геометрии для исследования закритической стадии деформирования
Группа |
|
|
|
Размер, мм |
|
|
|
|
образцов |
A |
ak |
B |
b |
L |
L0 |
lp |
lk |
I |
7 |
14 |
50 |
17 |
22 |
60 |
12 |
10 |
7 |
14 |
28 |
6 |
22 |
60 |
12 |
||
|
7 |
14 |
22 |
3 |
22 |
60 |
12 |
|
II |
7 |
14 |
50 |
17 |
22 |
60 |
12 |
20 |
7 |
14 |
28 |
6 |
22 |
60 |
12 |
||
|
7 |
14 |
22 |
3 |
22 |
60 |
12 |
|
III |
7 |
14 |
50 |
17 |
22 |
60 |
12 |
30 |
7 |
14 |
28 |
6 |
22 |
60 |
12 |
||
|
7 |
14 |
22 |
3 |
22 |
60 |
12 |
|
На рис. 3 приведена диаграмма деформирования для исследуемого материала, построенная по результатам испытаний на одноосное растяжение восьми образцов в форме двусторонних лопаток с длиной рабочей части 16 мм и шириной 14 мм. Кривая включает в себя протяженный участок закритического деформирования материала.
19
Рис. 3. Деформационная кривая для стали 12Х18Н10Т, полученная при одноосном растяжении
На рис. 4 представлены временные зависимости продольных деформаций в рабочей зоне 1 для образцов I группы шириной 22 мм, 28 мм и 50 мм. Данные зависимости получены с помощью бесконтактного видеоэкстензометра Instron AVE. Погрешность измерений состав-
ляет ±0,5 %.
Рис. 4. Зависимости продольных деформаций от времени в рабочей зоне I группы образцов специальной усложненной конфигурации шириной 22 мм (1), 28 мм (2)
и 50 мм (3), полученные с помощью бесконтактного видеоэкстензометра
С помощью трёхмерной цифровой оптической системы Vic-3D зарегистрированы изменения полей перемещений и деформаций. На основе полученных данных построены временные зависимости продольных деформаций не только в рабочей зоне образцов, но и для контрольного участка 2. Данные зависимости проиллюстрированы на рис. 5.
20