книги / 639

разца со стороны плоскости (YZ) , т.е. в плоскости A , а на торцах реагента, контактирующих с соединяемыми инертными материалами, обеспечивается условие адиабатичности. Нестационарная стадия описывается системой уравнений

сграничными и начальными условиями

x=0 : T =Ts ;

t =0 : T =T0; y =0 .

Рис. 1. Иллюстрация к постановке проблемы

В (1)–(3) и далее T – температура, η – степень превращения или массовая доля продукта реакции; t – время; ρ,cε,λT – плотность, теплоемкость при постоянстве деформаций и коэффициент теплопровод-

91

В образце достаточно больших размеров через некоторое время после инициирования экзотермическая реакция выйдет на стационарный режим, скорость которого следует из решения простейшей задачи теории горения [8]. В системе координат, связанной с фронтом, движущимся в направлении оси (OX ) , эта задача имеет вид

Задача об определении скорости фронта Vn есть задача на собственные значения. Решение представляет собой волну постоянного профиля, движущуюся со скоростью Vn . Кроме скорости горения, этот режим превращения можно характеризовать температурой продуктов:

Tb =T0 + cQρ ,

ε

которая легко получается из первого интеграла системы уравнений (4). Будем обозначать далее температуру продуктов, следующую из простейшей модели, как Tb0 , а скорость горения, определяемую на основе

анализа модели (4), как vn0 .

Для учета роли соединяемых материалов с точки зрения тепловой теории горения достаточно учесть потери тепла в них, например переходя к сопряженной двумерной постановке [9] или, еще проще, включая в модель эффективные потери тепла с эффективным коэффициентом теплообмена [10].

При синтезе покрытия на подложке (рис. 1, б) плоский фронт можно организовать аналогичным способом, т.е. поджигая образец однородным нагревом в плоскости A , а подложка будет отнимать тепло по тому же механизму. Эти потери тепла можно учесть как введением эффективного коэффициента теплообмена, так и за счет введения эффективных теплофизических коэффициентов и эффективного тепловыделения в реакции [11]. В результате мы придем к той же простейшей задаче теории горения (4).

92

В настоящее время в тепловой теории горения, конечно, существует множество более сложных моделей, учитывающих различную геометрию образцов, стадийность химического превращения, замедление реакций слоем продукта и т.п., обзор которых не входит в задачи данной работы.

С точки зрения термомеханики задачу об инициировании реакции (см. рис. 1, а) при «мгновенном» нагреве поверхности можно рассматривать как задачу о тепловом ударе [12]. Эта задача формулируется с использованием уравнения теплопроводности, связанного с де-

где JT – вектор плотности теплового потока (поток тепла в классической теории термоупругости связан с градиентом температуры законом Фурье JT =−λT T ); u – вектор перемещений; αT – линейный ко-

деформаций Коши.

Дополнительными соотношениями, связывающими компоненты тензоров напряжений и деформаций, являются соотношения Дюамеля– Неймана

В этих уравнениях возможные химические превращения не учитываются.

При резком повышении температуры поверхности A до Ts и при

условии идентичности свойств материалов (реагента и соединяемых образцов) можем принять

93

u2 =u3 =0;u1 =u (x,t );

σ11 ≠0, σ22 =σ33 ≠0, σ12 =σ23 =σ31 =0 ;

εkk =ε11 =ε=∂u∂x .

Вэтом случае решение задачи сводится к решению одномерных уравнений

С использованием соотношений (7) задача может быть переформулирована в напряжениях или перемещениях.

Говоря более строго, соединение материалов можно реализовать в условиях плоской деформации, так, что для рис. 1, а нужно записать

ε33 =0 ,

и задача нахождения возникающих волн напряжений и деформаций становится двумерной.

Для ситуации, изображенной на рис. 1, б, мы должны, вообще говоря, использовать иные условия. В этом случае можно принять

σ33 =0 ,

т.е. нанесение покрытия на пластину больших размеров происходит в условиях плоского напряженного состояния.

В классической теории термоупругости [12] с учетом малости коэффициента связанности

94

уравнение теплопроводности линеаризуют при температуре недеформированного состояния. Поэтому в большинстве работ, в которых требуется оценить температурные напряжения, эффектом связанности пренебрегается [12–15]. Решения задач линейной теории хорошо исследованы. Эти решения представляют собой волны, быстро затухающие при удалении от нагреваемой поверхности. Решений типа бегущей волны в линейной теории термоупругости не существует. Такие решения появляются в связанной нелинейной теории [16].

Учитывая тепловыделение вследствие химической реакции, протекающей в упругой среде, придем к модели термомеханики, допускающей два типа решений. Эта особенность связанных моделей сохраняется при учете сжимаемости среды [15, 17], конечности времени релаксации потока тепла [18], концентрационных напряжений и деформаций в зоне реакции [3, 8, 20, 21], иных реологических свойств [22, 23], зависимости скорости реакции от напряжений и деформаций

[3, 19, 24–26].

Возникает естественный вопрос: при каких условиях твердофазная волна горения будет устойчивой? Чтобы на него ответить наиболее простым способом, следует перейти к иной формулировке задачи, в которой зона реакции заменяется поверхностью разрыва. Исследование устойчивости фронта твердофазной реакции к одномерным возмущениям в рамках связанной модели впервые осуществлено в [6]. В [27–30] представлены некоторые результаты исследования этой проблемы применительно к разным ситуациям также в одномерном приближении. В данной работе возмущения считаем двумерными. Ограничимся учетом только термических напряжений и суммарной схемой химического превращения.

2. Общие соотношения

Для описанных выше ситуаций – формирования шва при соединении материалов и синтеза покрытия на подложке – связанная задача термоупругости с учетом наличия зоны превращения становится двумерной. В первом случае (плоская деформация) имеем

95

σ13 =σ31 =σ23 =σ32 =0 , ε33 =ε13 =ε31 =ε23 =ε32 =0 , u3 =0.

Следовательно,

εkk =ε11 +ε22 ,

Π=−(ε11σ11 +ε22σ22 +2ε12σ12 ).

Дополнительным уравнением будет условие совместности деформаций, следующее из соотношения Коши для ε12 (при условии непрерывности всех величин)

∂2ε11 + ∂2ε22 =2 ∂2ε12 .

∂y2 ∂x2 ∂x∂y

Учитывая эти соотношения, уравнение движения в случае плоской деформации в системе координат, связанной с фронтом, движущимся влево, представим в виде

плоскости A′.

Во втором случае (плоское напряженное состояние) имеем

σ13 =σ31 =σ23 =σ32 =0 , ε13 =ε31 =ε23 =ε32 =0 ,

следовательно,

εkk =ε11 +ε22 +ε33

Π=−(ε11σ11 +ε22σ22 +2ε12σ12 ).

96

Тогда уравнения движения, записанные в системе координат,

теплоемкость при постоянстве напряжений; ε=ε11 +ε22 . Третья компо-

нента тензора деформаций в уравнениях для плоского напряженного состояния явно не присутствует, поскольку

ε33 = −λ(ε11 +ε22 )+3KαT (T −T0 ) . λ+2µ

Выписанные уравнения справедливы в области реагентов и продуктов реакции. На границе раздела между ними условия формулируются специальным образом.

97

В реагентах ( x →−∞ ) все возмущения равны нулю, в продуктах ( x →+∞ ) – все возмущения затухают или конечны.

3. Стационарная задача

Первый этап исследования задачи об устойчивости фронта превращения – решение невозмущенной стационарной задачи. Для случаев плоской деформации и плоского напряженного состояния невозмущенные задачи в математическом отношении будут отличаться лишь коэффициентами: теплоемкостью cε и cσ и коэффициентом 3KαT и

6KµαT (λ+2µ), при слагаемом, описывающем перекрестный эффект.

(Аналогичные выводы следуют и из анализа задачи для возмущений.) Поэтому далее остановимся лишь на анализе одной ситуации – на задаче о распространении фронта превращения между соединяемыми материалами.

В стационаре фронт реакции движется влево со скоростью Vn0 .

Заметим, что на стадии распространения фронта превращения непосредственно соединение материалов не происходит. Соединение материалов осуществляется за счет более медленных физических стадий (например, контролируемых диффузией), которые следует изучать отдельно. Поэтому здесь речь идет о влиянии соединяемых материалов (условий организации эксперимента) на режимы превращения.

В приближении узкой зоны химической реакции и для реакции нулевого порядка стационарная невозмущенная задача (T =Tx ) для случая плоской деформации включает уравнения

98

занности, в отличие от теории термоупругости (12), вычисляется при температуре, характерной для химической реакции. Параметр α – есть отношение скорости фронта реакции к скорости звука – скорости распространения продольных механических возмущений. В соответствии с [3, 5 и др.] этот параметр может быть как много меньше единицы, так и сравним с ней.

Уравнение теплопроводности линеаризуем при температуре

θ=θb :

Неймана, записанных в безразмерной форме) условие непрерывности напряжений и перемещений во фронте невозмущенной волны горения эквивалентно условию непрерывности деформаций

Точное решение стационарной линеаризованной задачи имеет вид

где γ=1+ω1θ−αb +σ2 >0 , а значение температуры продуктов следует из квадратного уравнения

100