книги / 639

с моделью Тейлора [7]. Отметим, что напряжения характеризуют именно упругие связи в зерне, связанные с изменением расстояний между соседними атомами.

Система разрешающих уравнений для кристаллита в скоростях имеет следующий вид:

Здесь (14)1 – закон Гука в скоростной релаксационной форме с учетом геометрической нелинейности;

(14)2 – кинематическое соотношение;

(14)3 – гипотеза Фойгта (D – тензор деформации скорости макроуровня);

(14)4 – соотношение модели поворота Тейлора; (14)5 – соотношения для скоростей критических напряжений со-

противления сдвигу τ&αсs и двойникованию τ&ctwk ;

(14)6 – упруговязкопластические соотношения для определения скоростей сдвига и изменения объемной доли двойников;

4. Согласование определяющих соотношений масштабных уровней

Для согласования определяющих соотношения соседних масштабных уровней модели используем подход, предложенный в работах [4, 5]. Для этого рассмотрим определяющие соотношения макроуровня, записанного в виде

131

и мезоуровня (для каждого элемента из выборки) в виде

Далее согласно [4, 5] представим величины, входящие в определяющие соотношения мезоуровня, в виде суммы средних по представительному объему макроуровня величин и отклонений от этих средних:

где < > – оператор осреднения (вид которого не конкретизируется), обладающий свойством

Далее принимается, что согласование напряженно-деформиро- ванного состояния на различных уровнях заключается в равенствах

и характеристики напряженно-деформированного состояния на верхнем масштабном уровне должны быть в точности равны осредненным характеристикам нижнего масштабного уровня.

В силу антисимметричности тензора ω (т.е. при коротационных производных на мезоуровне в законе (16)) с учетом (20) соотношение (19) можно записать в виде

Σ& −<ω> Σ+ Σ <ω> −< ω′ σ′ > + < σ′ ω′ > = = C:(D −< din >) +< c′:(d′−din′) >.

132

Тогда для согласования двух соседних масштабных уровней необходимо положить

Ω=< ω>,

(21)

Din =< din > −C−1:<c′:(d′−din′) > −C−1:( < ω′ σ′ > −< σ′ ω′ > ).

Следует заметить, что при таком подходе на макроуровне получается коротационная производная. Жесткую подвижную систему координат можно трактовать как некоторый трехгранник, соответствующий осредненной ориентации элементов мезоуровня, а осредненный спин Ω=< ω> – как скорость его поворота.

В случае использования в статистических моделях для передачи

на мезоуровень условий нагружения гипотезы Фойгта d = D , d′ =0 связи (21) принимают вид

Ω=< ω>,

(22)

Din =< din > + C−1:<c′:din′ > −C−1:( < ω′ σ′ > −< σ′ ω′ > ).

Тогда постановка задачи для представительного объема макроуровня выглядит следующим образом:

Σ& =C:(D-Din )+Ω Σ−Σ Ω,

Ω=< ω>, (23)

Din =< din > + C−1:<c′:din′ > −C−1:( < ω′ σ′ > −< σ′ ω′ > ),

где C – тензор упругих свойств макроуровня, D – тензор деформа-

ции скорости макроуровня, Din – неупругая составляющая тензора деформации скорости макроуровня, Ω – тензор, входящий в независящую от выбора системы отсчета коротационную производную тензора напряжений макроуровня, Σ – тензор напряжений Коши,

c′,din′ ,σ′,ω′ – отклонения от среднего (по представительному объему макроуровня) тензора упругих свойств, неупругой составляющей тензора деформации скорости, тензора напряжений Коши и спина решетки соответственно, <·> – оператор осреднения по представительному макрообъему.

133

5. Моделирование процессов осадки, стесненной осадки, чистого сдвига

Рассмотрим постановки задач и результаты моделирования некоторых процессов деформирования представительного объема (ПО) поликристалла, таких как осадка, стесненная осадка и чистый сдвиг.

Для реализации осадки материала на макроуровне должно быть выполнено условие одноосного напряженного состояния. Рассмотрим образец в форме прямоугольного параллелепипеда (в отсчетной конфигурации) при расположении осей лабораторной системы координат (ЛСК) OX1, OX2, OX3 перпендикулярно соответствующим граням; поверхности контакта полагаются идеально смазанными. Для определенности рассмотрим сжатие вдоль оси ОХ1 фиксированной ЛСК. Использование гипотезы Фойгта предполагает жесткое нагружение на каждом шаге нагружения, предписанным является тензор деформации скорости. Условия одноосного напряженного состояния не позволяют задать все компоненты данного тензора, т.е. одноосное нагружение в исходной постановке нельзя вести чисто кинематически, поскольку граничные условия на макроуровне являются смешанными. В то же время для применения алгоритма решения на мезоуровне, основанного на гипотезе Фойгта, необходимо определять в каждый момент деформирования все компоненты градиента места (или градиента скорости перемещений). Поэтому реализация одноосного растяжения (сжатия) в рамках модели осуществляется следующим образом: предписанной является только одна компонента тензора деформации скорости на макроуровне в ЛСК [D]11ЛСК , а остальные компоненты [D]ijЛСК определяются в ре-

зультате решения задачи исходя из необходимости обеспечения соот-

(ij) ≠(11). Отметим, что тензор деформации E определялся интегрированием тензора скорости деформации D, т.е. использовалась так называемая неголономная мера.

Постановка задачи одноосного растяжения/сжатия ПО макроуровня выглядит следующим образом:

134

Рис. 1. Диаграмма одноосного нагружения поликристалла ОЦК-железа

Рис. 2. Компоненты тензора напряжений Коши в ЛСК при осадке поликристалла ОЦК-железа

Из результатов, приведенных на рис. 1–3 видно, что реализуется одноосное напряженное состояние. Условия согласования ОС двух соседних масштабных уровней (17) обеспечивают полное соответствие между макронапряжениями и осредненными напряжениями мезоуровня.

135

Рис. 3. Компоненты тензора деформации в ЛСК при осадке поликристалла ОЦК-железа

Перейдем к рассмотрению процесса стесненной осадки, который реализуется следующим образом: вдоль оси OX1 происходит сжатие, вдоль одной из осей (для определенности OX2) перемещение запрещено. Как и в случае осадки, используется гипотеза Фойгта (предписанным является тензор деформации скорости). В случае стесненной осадки задаются две компоненты тензора деформации скорости на макроуровне в ЛСК [D]11ЛСК и [D]22ЛСК =0 . Остальные четыре компонен-

ты [D]ijЛСК определяются в результате решения задачи из условий

[Σ&]ijЛСК =0, (ij) ≠(11) и(ij) ≠(22) .

Постановка задачи стесненной осадки ПО макроуровня с учетом согласования соседних уровней (мезо- и макроуровня) выглядит следующим образом:

На рис. 4–6 приведены результаты численного моделирования стесненной осадки ПО ОЦК-железа.

136

Рис. 4. Диаграмма нагружения поликристалла ОЦК-железа (стесненная осадка)

Рис. 5. Компоненты тензора напряжений Коши в ЛСК при стесненной осадке поликристалла ОЦК-железа

Рис. 6. Компоненты тензора деформации в ЛСК при стесненной осадке поликристалла ОЦК-железа

В отличие от предыдущих двух случаев (осадки и стесненной осадки) чистый сдвиг задается кинематически: предписанной являются все компоненты тензора деформации скорости, причем отлична от нулевой только [D]12ЛСК :

137

Результаты моделирования чистого сдвига ПО ОЦК-железа представлены на рис. 7–9.

Рис. 7. Диаграмма нагружения поликристалла ОЦК-железа

Рис. 8. Компоненты тензора напряжений Коши в ЛСК при чистом сдвиге поликристалла ОЦК-железа

138

Рис. 9. Компоненты тензора деформации в ЛСК при стесненной осадке поликристалла ОЦК-железа

Заключение

Представлена физическая упруговязкопластическая модель, в которой учитываются две моды неупругого деформирования – скольжение краевых дислокаций и двойникование, оказывающие существенное влияние на отклик материала при его неупругом деформировании. Использованы условия согласования определяющих соотношений соседних масштабных уровней, обеспечивающие соответствие мер напряженного и деформированного состояний этих уровней. Предлагаемая модель позволяет описывать неупругое деформирование ПО поликристаллов; представлены результаты расчетов для одноосного нагружения, стесненной осадки, чистого сдвига.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты

10-08-96010-р_урал_а, 10-08-00156-а).

Библиографический список

1.Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2011. – 419 с.

2.Myagchilov S., Dawson P.R. Evolution of texture in aggregates of crystals exhibiting both slip and twinning // Modeling and Simulation in Materials Science and Engineering. – 1999. – Vol. 7, Nо. 6. – P. 975–1004.

3.Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.: Наука. 1986. – 232 с.

139

4.Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. –

Т.4, № 1. – С. 74–89.

5.Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации для представительного объема макроуровня// Вычислительная механика сплошных сред. –2011. – Т.4, № 2. – С. 82–95.

6.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории пластичности // Физическая мезомеханика. – 2010. – T. 13, № 3. – С. 21–30.

7.Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании металлов // Вестник ПГТУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – № 1. – С. 111–127.

References

1.Trusov P.V., Shveikin A.I. The theory of constitutive relations: a tutorial. Part II. The theory of plasticity [Teoria opredelyaushih sootnoshenii: uchebnoe posobie. Ch. 2. Teoria plastichnosti]. Perm: Izd-vo Perm. gos. the. un-ta., 2008. 243 p.

2.Myagchilov S., Dawson P.R. Evolution of texture in aggregates of crystals exhibiting both slip and twinning // Modeling and Simulation in Materials Science and Engineering. 1999. Vol. 7, No. 6. P. 975–1004.

3.Pozdeev A.A., Trusov P.V., Niashin Y.I. Large elastoplastic deformation: theory, algorithms, and applications [Bolshie uprugoplasticheskie deformacii: teoria, algoritmi, prilojenia]. – M.: Nauka, 1986. 232 p.

4.Nechaeva E.S., Trusov P.V. Constitutive model of semicrystalline polymer material. Implementation algorithm for mezolevel model [Konstitutivnaia mdel chastichnogo polimernogo materiala. Algoritmi realizacii modeli mezourovnia] // Computational Continuum Mechanics. 2011. Vol. 4, No. 1. P. 74–89.

5.Nechaeva E.S., Trusov P.V. Constitutive model of semicrystalline polymer material. Implementation algorithm for macro level represantative volume [Konstitutivnaia model chastichnogo polimernogo materiala. Algoritmi realizacii dlia predstaitelnogo obema macrourovnia] // Computational Continuum Mechanics. 2011. Vol. 4, No. 2. P. 82–95.

140