книги / 639

H = K4c2 K1(K2 + K3)h2 − K2 (K1 − K3) + + K3 K1(K2 − K4)h2 − K2 (K1 + K4)

позволяет подстановка (3) и (4) в соотношения (1), условия (6) и (7). Если предположить, что волокна однородно распределены внут-

ри композита, то рассматриваемая среда квазиоднородна и трансвер- сально-изотропна. Поставим в соответствие составным частицам, находящимся в условиях плоской деформации, эквивалентные однородные армирующие элементы, упругие модули которых являются эффективными характеристиками композита.

Из равенства радиальных перемещений на внешних границах эквивалентных однородных армирующих элементов

могут быть найдены оценки сверху эффективных модулей объемного сжатия при плоской деформации двухфазного композита со сплошными

соосными волокнами, находящимися в идеальном сопряжении с транс- версально-изотропной матрицей.

41

−K1(K2 − K4)h2 .

Обратим внимание на то, что замена условий (1) на кинематические (2), обеспечивающие однородное перемещение внешней боковой поверхности составного цилиндрического волокна, позволяет определить константы интегрирования для сплошных

HC = (K3 − K1)c2 +(K1 + K4)

и полых

AF = 2 K2B22 ξ, BF = 2 K1B22RBh2c2 ξ

RBH H

AM = K1(K4 − K2)h2 + K2 (K1 + K4)ξ, RBH

BM = c2RB K1(K2 + K3)h2 − K2 (K1 − K3)ξ, H

H = A22 A22 (h2 −1)(c2 −1)+(h2 +1)(c2K3 + K4) + + A23 (h2 −1) c2K3 + K4 + A23 (1−c2)

армирующих элементов, а также получить оценки снизу для эффективных модулей Kr*θ из условий равенства радиальных напряжений на внешних боковых границах эквивалентных однородных волокон

и составных армирующих элементах

Несложно показать, что эти оценки совпадут с полученными выражениями (8) и (9). Следовательно, полученные решения являются

42

точными в рамках ограничений, используемых в полидисперсных моделях. Обратим также внимание на то, что при подстановке R0 = 0

(или h = 0 ) в уравнения (9) последние значительно упрощаются и принимают вид (8).

В частном случае

где KF , KM , GF и GM — объемный и сдвиговой упругие модули фаз,

из выражений (8) и (9) следуют эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации волокнистых композитов, изотропная матрица которых содержит однородно распределенные изотропные сплошные

и полые

цилиндрические соосные армирующие элементы. Обратим внимание на то, что в формулах (10) и (11) проведена замена c2 = vF и h2 = v0 (где vF и v0 – объемное наполнение волокнами и пористость), а равен-

ство (10) в точности совпадает с выражением, впервые полученным З. Хашином и Б.В. Розеном [1].

43

Рис. Возрастные изменения модуля объемного сжатия при плоской деформации трабекулярной костной ткани при различной объемной пористости ρ = R0RB

В качестве примера рассмотрим задачу прогнозирования возрастного изменения эффективных модулей объемного сжатия при плоской деформации трабекулярной ткани большой берцовой кости. Для этого предположим, что костная ткань является композитом с круглыми в поперечном сечении соосными туннельными порами. Моделирование возрастного изменения деформационных характеристик будем проводить с использованием эмпирической зависимости [6], полученной в результате обработки экспериментальных значений модулей нормальной упругости в различных возрастных группах от 28 до 95 лет. Считая, что возрастные изменения влияют только на модули в продольном направлении, примем следующие упругие характеристики костной ткани: E = 7,7 ГПа, υ = 0,44 , E% = 21,7 ГПа и υ% = 0,3 (возраст –

28 лет) и E = 7,7 ГПа, υ = 0,44 , E% =17,4 ГПа и υ% = 0,3 (результат био-

логического старения до 80 лет) [4, 6].

С помощью полученных выражений (9) будем прогнозировать эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации K*rθ трабекулярной костной ткани. Эта характеристика является одной из

44

ключевых для описания движения вязких жидкостей (костный мозг, лимфа, кровь, тканевая жидкость) внутри [7]. Примем следующую гипотезу: в возрасте 28 лет ткань является «молодой», а при увеличении биологического возраста старение начинается на внутренних поверхностях и постепенно к 80 годам охватывает весь объем кости. Это предположение позволяет заменить исходную стареющую среду композитом с полыми соосными цилиндрически трансверсально-изотроп- ными волокнами в трансверсально-изотропной матрице (стареющая и «молодая» костная ткань соответственно), с равномерно изменяющимися радиусами: от h = R0RА =1 в возрасте 28 лет до c = RARB =1 –

80 лет.

Еще один важный фактор, который может быть учтен при прогнозировании эффективных упругих модулей — необратимые изменения в структуре костной ткани при наличии, отсутствии или изменении внешнего силового воздействия. Закономерности этих изменений, связанных с разрушением «старых» и созданием новых трабекул, подчиняются закону Ю. Вольфа [8]. Будем предполагать, что перестройка костной ткани связана с увеличением объемной пористости ρ = R0RB ,

которая будет изменяться в диапазоне от 0,6 до 0,9.

На рисунке показано совместное влияние объемной пористости и биологического возраста на изменение модуля объемного сжатия при плоской деформации трабекулярной костной ткани. Как видим, при ста-

рении наблюдается незначительное (от 2 до 8 %) снижение K*rθ , в то вре-

мя как при увеличении объемной пористости до 0,9 значения эффективных модулей в 5,2–5,7 раз ниже, чем висходном состоянии (ρ = 0,6 ).

Обратим внимание на практическую значимость полученных результатов. Спрогнозированное изменение модулей объемного сжатия при плоской деформации связано с возрастной внутренней перестройкой структуры костной ткани и является основой для разработки новых методов предупреждения и лечения переломов, а также обоснования комплекса гимнастических упражнений и индивидуального подбора нагрузок для неподвижных и ограниченно подвижных больных.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 11–01–00910).

45

Библиографический список

1.Хашин З., Розен Б.В. Упругие модули волокнисто-амирован- ных материалов // Прикл. механика: тр. Амер. о-ва инж.-мех. – 1964. –

Т. 31, № 2. – С. 223–232.

2.Зайцев А.В., Фукалов А.А. Эффективные модули объемного сжатия дисперсно-упрочненных композитов со сплошными и полыми анизотропными сферическими включениями // Вестник ПГТУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – № 4. – С. 46–54.

3.Сопротивляемость костной ткани разрушению при растяжении / И.В. Кнетс, Х.А. Янсон, Ю.Ж. Саулгозис, Г.О. Пфафрод // Механика полимеров. – 1971. – № 6. – С. 1084–1091.

4.Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж., Янсон Х.А. Деформативность и прочность компактной костной ткани при растяжении // Механика по-

лимеров. – 1974. – № 3. – С. 501–506.

5.Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.:

Наука, 1977. – 416 с.

6.Возрастные изменения некоторых упругих характеристик механических свойств компактной костной ткани человека / Ю.Ж. Саулгозис, И.В. Кнетс, Х.А. Янсон, Г.О. Пфафрод // Механика полимеров. – 1974. – № 5. – С. 885–891.

7.Янсон Х.А., Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж. Физиологическое значение изменения объема кости при деформировании // Механика полимеров. – 1974. – № 4. – С. 695–703.

8.Martin R.B. Skeletal tissue mechanics / Eds.: R.B. Martin, D.B. Burr, N.A. Sharkey. N.Y.: Shpringer-Verlag, 1998. – 382 p.

References

1.Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fiber reinforced materials // J. Appl. Mech. 1964. Vol. 31. P. 223–232.

2.Zaitsev A.V., Fukalov A.A. Effective modules of volume compression to composites are reinforced by solid and empty spherical particles [Effectivnye moduli ob’emnogo szhatiya dispersno uprochnennikh compositov so sploshnimi i polimi sphericheskimi vklucheniyami] // Bulletin of PSTU. Mechanics. 2010. No. 4. P. 46–54.

3.Knets I., Yanson H., Saulgozis Yu., Pfafrod G. Cortical bone resistability to fracture in tension [Soprotivlyaemost’ kostnoy tkani razrusheniyu pri rastyagenii] // Polymer Mechanics. 1971. No. 6. P. 1084–1091.

46

4.Knets I., Saulgozis Yu., Yanson H. Deformability and strength of compact bone tissue in tension [Deformativnost’ i prochnost’ kompaktnoy kostnoy tkani pri rastyagenii] // Polymer Mechanics. 1974. No. 3. P. 501– 506.

5.Lekhnitskiy S.G. Theory of elasticity for anisotropic bodies [Teoriya uprugosti anizotropnogo tela]. M.: Nauka, 1977. 416 с.

6.Saulgozis Yu., Knets I., Yanson H., Pfafrod G. Changes of some elastic characteristics of the mechanical properties of compact bone tissue with age [Vozrastnie izmeneniya nekotorikh uprugikh kharakteristik mechanicheskikh svoystv kompaktnoy kostnoy tkani cheloveka] // Polymer Mechanics. 1974. No. 5. P. 885–891.

7.Yanson H., Knets I., Saulgozis Yu. Physiological significance of the change of bone volume during deformation [Phiziologicheskoe znachenie izmeneniya ob’ema kosti pri deformirovanii] // Polymer Mechanics. 1974. No. 4. P. 695–703.

8.Martin R.B. Skeletal tissue mechanics / Eds.: R.B. Martin, D.B. Burr, N.A. Sharkey. NY: Shpringer-Verlag, 1998. 382 p.

Об авторах

Зайцев Алексей Вячеславович (Пермь, Россия) – кандидат фи-

зико-математических наук, доцент кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, e-mail: zav@pstu.ru).

Соколкин Юрий Викторович (Пермь, Россия) – доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, e-mail: sokolkin@pstu.ru).

Фукалов Антон Александрович (Пермь, Россия) – аспирант ка-

федры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского университета (614990, г. Пермь, Ком-

сомольский пр-т, 29, e-mail: mr_aa@mail.ru).

About the authors

Zaitsev Alexey Vyacheslavovich (Perm, Russia) – PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Me-

47

chanics of Composite Materials and Structures, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky Ave., Perm, Russia, e-mail: zav@pstu.ru).

Sokolkin Yuriy Viktorovich (Perm, Russia) – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky Ave., Perm, Russia, e-mail: sokolkin@pstu.ru).

Fukalov Anton Alexandrovich (Perm, Russia) – Postgraduate Student of the Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky Ave., Perm, Russia, e-mail: mr_aa@mail.ru).

Получено 28.10.2011

48

УДК 539.3

А.В. Ильиных, В.Э. Вильдеман

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

ЗАКОНОМЕРНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ЗЕРНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ, СВЯЗАННЫЕ С ФОРМОЙ И РАЗМЕРАМИ ЭЛЕМЕНТОВ СТРУКТУРЫ

Представлены результаты синтеза микроструктур и численного моделирования процессов структурного разрушения зернистых композитов в виде расчетных диаграмм деформирования, содержащих закритическую стадию. Установлены связи структурных параметров с закономерностями неупругого деформирования и накопления повреждений.

Ключевые слова: закритическое деформирование, численное моделирование, зернистые композиты, структурное разрушение.

A.V. Ilinykh, V.E. Vildeman

State National Research Politechnical University of Perm, Perm, Russia

PRINCIPLES OF MECHANICAL BEHAVIOR OF GRANULAR COMPOSITES, CONNECTED WITH FORM AND SIZES

OF ELEMENTS OF STRUCTURE

This work contains results of microstructures synthesis and numerical modeling of structural failure processes in granular composites in the form of calculating strain curves containing post critical stage. Communications of structural parameters with laws of inelastic deformation and damage accumulation are established.

Keywords: post critical deformation, numerical modeling, granular composites, structural failure.

Актуальность развития новых математических моделей и методов, учитывающих неоднородность полей напряжений и деформаций в структурных элементах, а также многостадийность процессов микро- и макроразрушения, связаны с необходимостью получения новых данных о влиянии параметров структуры на неупругое механическое поведение и эффективные деформационные и прочностные свойства структурно неоднородных сред. В данной работе в качестве структурно неоднородных сред рассматриваются зернистые композиты.

49

Одной из особенностей неупругого поведения материалов является закритическая стадия деформирования. Вопросы теоретического и экспериментального изучения закономерностей закритического деформирования материалов привлекают внимание исследователей в связи с необходимостью использования деформационных резервов материалов, повышения несущей способности и живучести конструкций [1–4]. Развитие методов расчета ответственных конструкций с оценкой живучести и безопасности требует получения информации о закономерностях механического поведения композиционных материалов на стадии закритического деформирования [5, 6].

Определенные закономерности могут быть обнаружены в результате вычислительных экспериментов. В частности, ранее было показано, что накопление повреждений носит многостадийный характер, проявляют себя зависимость ниспадающего участка диаграммы от вида напряженного состояния и «квантовый» характер структурного разрушения, определенное соотношение свойств структурных элементов приводит к самоподдерживаемому разрушению, при котором закритическая стадия деформирования даже при «жестком» (кинематическом) нагружении очень ограниченна [7, 8].

Для выявления связей структурных параметров с закономерностями неупругого деформирования авторами ранее был предложен оригинальный алгоритм синтеза микроструктур зернистых композитов [9], который имитирует пошаговый рост эллипсоидов (в плоском случае – эллипсов). На рис. 1 и 2 показаны модели микроструктур из 100 зерен с разными коэффициентами формы k f =ab и относительных

большего и наименьшего эллипсоидов.

Макроразрушению структурно-неоднородных тел предшествует сложный процесс потери несущей способности элементов структуры, сопровождаемый перераспределением напряжений и деформаций. В результате равновесный процесс накопления повреждений может перерасти в лавинообразный и в итоге привести к образованию макротрещины. Изучение кинетики этого процесса важно для выявления факторов появления макроскопической трещины и исследования особенностей механического поведения структурно-неоднородных сред.

50