книги / 639

а б в

Рис. 1. Модели зернистых структур с коэффициентами размера kr =2 и формы: (а) k f =1; (б) k f =2 ; (в) k f =5

по равномерному закону коэффициентом размера: (а) kr =1; (б) kr =2 ; (в) kr =3

В работе используются модели разрушения по совокупности критериев прочности, которые позволяют различать механизмы разрушения структурных элементов [1]. Для случая изотропного материала учитываются два различных вида разрушения (отрыв и сдвиг). Рассмотренные критерии разрушения представляются в виде неравенств

где jε(n) – независимые инварианты тензора деформаций, вид и число ко-

торых соответствует типу анизотропии материала [10]; jε(ncr) – прочностные константы материала; fm – некоторыеуниверсальные функции.

Для описания процессов неупругого деформирования и разрушения структурно-неоднородных сред используется двухуровневая

51

структурно-феноменологическая модель механики композитов [11]. Вычисление полей напряжений σij (r) и деформаций εij (r) в элемен-

тах структуры осуществляется при помощи замкнутой системы уравнений, в которую входят уравнения равновесия, записанные без учета массовых сил, геометрические соотношения Коши и определяющие соотношения для структурных элементов:

где Cijkl – компоненты тензора упругих модулей, Iklmn =(δkmδln + +δknδlm )/ 2 – компоненты единичного тензора, δkn – символ Кронекера, Ωklmn – компоненты тензора поврежденности четвертого ранга, Σu – границы тела, на которых заданы условия макрооднородной деформации εij .

Для изотропных материалов определяющие соотношения представляются в следующем виде:

того ранга в этом случае определяется двумя независимыми материальными функциями k и g. При моделировании упругохрупкого поведения значения указанных функций скачкообразным образом изменяются от 0 до 1 при выполнении критериев разрушения.

Напряжённо-деформированное состояние макрообъёмов характеризуется тензорами макронапряжений σ*ij и макродеформаций ε*ij , определяемыми осреднением по объёму соответствующих величин на

52

структурном уровне. Связь между макронапряжениями и макродеформациями определяет эффективные свойства зернистых структурнонеоднородных сред и может быть охарактеризована при помощи расчетных диаграмм деформирования.

Численное моделирование механического поведения зернистых структурно-неоднородных сред осуществлялось с использованием разработанного программного комплекса, в основе которого заложены метод конечных элементов, процедура метода переменных параметров упругости и автоматического выбора шага нагружения [12], ведущего к регистрации разрушения минимально возможного числа элементов в каждой итерации [13].

Синтезированные зернистые структуры разбиваются на треугольные конечные элементы, причем на каждое зерно приходится в среднем по 50 элементов дискретизации. Разработанный программный комплекс численного решения краевых задач механики неупругого деформирования и разрушения позволяет при фиксированном уровне нагружения получать картины неоднородных полей напряжений и деформаций. На рис. 3 показаны иллюстрации неоднородных полей

вэлементах структуры компонент тензора напряжений σ11 , σ22 , τ12

ивторого инварианта тензора напряжений jσ(2) при отсутствии разру-

шенных конечных элементов и заданных по равномерному закону в интервале упругих свойств зерен.

где δij – символ Кронекера. Для структур, представленных на рис. 1,

проведено численное моделирование процессов структурного разрушения в условиях одноосного деформирования. Считается, что зёрна представленных микроструктур изотропны и однородны. Модули упругости зёрен Ei задаются по равномерному закону в интервале

0,8Esr ≤Ei ≤1,2Esr , где Esr = 100 МПа. Коэффициент Пуассона для всех

зёрен принимается равным 0,3. При этом прочностные характеристики зёрен задавались по двухпараметрическому закону распределения Вей-

53

и коэффициентом вариации kV = 0,5 следующим образом:

Рис. 3. Неоднородные поля компонент и второго инварианта тензора напряжений в элементах структуры в условиях одноосного деформирования

54

где b и c – соответственно параметры масштаба и формы плотности распределения f (jσ(2)); Г( ) – гамма-функция.

На рис. 4 приведены полученные зависимости компоненты тензора макронапряжений σ11 от компоненты тензора макродеформаций

ε11, отражающие влияние формы структурных элементов на механиче-

ское поведение области деформирования. На рис. 5 показаны картины дефектных структур для зернистых композитов с различным коэффициентом формы при фиксированном уровне нагружения.

Рис. 4. Диаграммы деформирования при одноосном «жестком» нагружении зернистых структур с коэффициентом формы k f , равным 1 (сплошная линия),

2 (штриховая линия) и 5 (пунктирная линия)

а б в

Рис. 5. Иллюстрации дефектных структур для зернистых композитов с разным коэффициентом формы зерен: (а) k f =1; (б) k f =2 ; (в) k f =5

55

Видно, что наличие в структурах большого числа зёрен с вытянутой формой приводит к снижению прочностных характеристик. Это связано с тем, что вытянутая форма зёрен даёт более сильную концентрацию напряжений в области деформирования, которая тем больше оказывает влияние на процесс структурного разрушения, чем больше задан разброс модулей упругости зёрен.

Проведен анализ закономерностей неупругого деформирования и разрушения зернистых структурно-неоднородных сред с различным относительным размером зёрен, вид микроструктур которых приведен на рис. 2. Были выбраны следующие параметры структуры: ориентация задана по равномерному закону в интервале от 0 до 180° С; коэффициент формы зерен k f =2 ; коэффициент относительных размеров

зерен принимал значения kr =1, 2 и 3.

Для представленных структур проведено численное моделирование процессов структурного разрушения в условиях одноосного деформирования. При этом прочностные и упругие характеристики зёрен задаются аналогичным образом с предыдущей задачей. На рис. 6 при-

ведены полученные зависимости компоненты тензора напряжений σ11

от компоненты тензора деформаций ε11, отражающие влияние разме-

ров структурных элементов на механическое поведение области деформирования.

Из рис. 6 видно, что у расчетных диаграмм деформирования с большим коэффициентом относительных размеров выше предельное

значение σ11 max и, следовательно, выше прочностные характеристики. Однако у диаграммы деформирования зернистой структурнонеоднородной среды с kr =1 наблюдается более протяженный участок

закритического деформирования, что свидетельствует о лучшей способности материала сопротивляться разрушению.

На рис. 7 представлена зависимость объемной доли поврежденности ω материала от величины деформации при одноосном пропорциональном деформировании для рассматриваемых зернистых структур. При этом величина поврежденности ω при решении плоской задачи для зернистых структурно-неоднородных сред соответствует отношению площади разрушенных конечных элементов к общей площади области деформирования.

56

Рис. 6. Диаграммы деформирования при одноосном «жестком» нагружении зернистых структур с коэффициентом размера: (а) kr =1 (сплошная линия);

(б) kr =2 (штриховая линия); (в) kr =3 (пунктирная)

Рис. 7. Зависимость объемной доли повреждённости от величины деформации при одноосном «жестком» нагружении зернистых структур, с коэффициентом размера: (а) kr =1 (сплошная линия); (б) kr =2 (штриховая линия); (в) kr =3 (пунктирная)

Таким образом, для выявления связи параметров структуры с закономерностями неупругого деформирования и разрушения зернистых структурно-неоднородных сред разработан комплекс программ, включающий в себя программу синтеза зернистых микроструктур и программу для численного моделирования процессов неупругого деформирования и структурного разрушения. Определены закономерности механического поведения зернистых структурно-неоднородных сред, связанные с формой и относительными размерами элементов структуры при случайных значениях упругих и прочностных характеристик зерен.

57

Библиографический список

1.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. –

М.: Физматлит, 1997. – 288 с.

2.Особенности деформирования пластичных материалов при динамических неравновесных процессах / Н.Г. Чаусов, У.Э. Засимчук, Л.И. Маркашова, В.Э. Вильдеман [и др.] // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2009. – Т. 75, № 6. – С. 52–59.

3.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевая задача механики деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения // Прикладная механика и техническая физика. – 1995. – № 6. – С. 122–132.

4.Вильдеман В.Э. О решениях упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения // Прикладная математика и механика. – 1998. – Т. 62, № 2. – С. 304–312.

5.Вильдеман В.Э., Зайцев А.В., Горбунов А.Н. Закономерности и механизмы повреждения неоднородных тел на закритической стадии // Физическая мезомеханика. – 1999. – Т. 2, № 4. – С. 41–53.

6.Вильдеман В.Э., Ильиных А.В. Моделирование процессов структурного разрушения и масштабных эффектов разупрочнения на закритической стадии деформирования неоднородных сред // Физиче-

ская мезомеханика. – 2007. – Т. 10, № 4. – С. 23–31.

7.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Зайцев А.В. Эволюция структурных повреждений и макроразрушение неоднородной среды на закритической стадии деформирования // Механика композитных мате-

риалов. – 1997. – Т. 33, № 3. – С. 329–339.

8.Накопление структурных повреждений и устойчивое закритическое деформирование композитных материалов / Ю.В. Соколкин, В.Э. Вильдеман, А.В. Зайцев, И.Н. Рочев // Механика композитных ма-

териалов. – 1998. – Т. 34, № 2. – С. 234–250.

9.Ильиных А.В., Радионова М.В., Вильдеман В.Э. Компьютерный синтез и статистический анализ распределения структурных характеристик зернистых композиционных материалов // Механика композиционныхматериалов и конструкций. – 2010. – Т. 16, №2. – С. 251–264.

10.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 336 с.

11.Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. – М.: Наука, 1984. – 115 с.

58

12.Зайцев А.В. Закономерности процессов накопления повреждений и условия перехода к локализованному разрушению зернистых композитов при квазистатическом нагружении // Физическая мезоме-

ханика. – 2004. – Т. 7, № 5. – С. 63–72.

13.Ильиных А.В. Численное моделирование процессов структурного разрушения зернистых композитов с изотропными элементами структуры // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2011. – № 2(23) – С. 99–104.

References

1.Wildeman V.E., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Mechanics of inelastic deformation and failure of composite materials. Moscow: Nauka, 1997. (in Russian).

2.Chausov N.G., Zasimchuk E.E., Markashova L.I., Vildeman V.E., Turchak T.V., Pilipenko A.P., Paratsa V.M. Special features of plastic materials deformation upon dynamic nonequillibrium processes // Factory laboratory. Diagnostics of materials. 2009. 75. No. 6. P. 52–59.

3.Wildemann V.E., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Boundary-value problem of deformation and fracture mechanics for damaged bodies with strain-softening zones // J. Appl. Mech. Techn. Phys. 1995. Vol. 36, No. 6. P. 122–132.

4.Wildemann V.E. On the solution of elastic-plastic problems with contact-type boundary conditions for solids with loss-of-strength zones // J. Appl. Math. Mechs. 1998. Vol. 62, No. 2. P. 291–288.

5.Wildemann V.E., Zaitsev A.V., Gorbunov A.N. Mechanisms and regularities of heterogeneous-solid damage-accumulation at the supercritical stage // Phys. Mesomech. 1999. 2, No. 4. P. 37–48.

6.Wildemann V.E., Ilinykh A.V. Simulation of structural failure and scale effects of softening at the post-critical deformation stage in heterogeneous media. // Physical Mesomechanic. 2007. 10, No. 4. P. 23–29. (in Russian).

7.Wildeman V.E., Sokolkin Yu.V., Zaitsev A.V. Damage structure evolution of heterogeneous media at supercritical deformation stage. Mechanics of Composite Materials. 1997. No. 33, P. 231–238.

8.Sokolkin Yu.V., Wildeman V.E., Zaitsev A.V., Rochev I.N. Structural damage accumulation and stable post-critical deformation of composite materials. Mechanics of Composite Materials // 1998. No. 34, P. 171–183.

59

9.Ilinykh A.V., Radionova M.V., Vildeman V.E. Computer synthesis and statistical analisys of the distribution of structural characteristics of granular composite materials // Composites: Mechanics, Computations, Applications. 2011. 2(2), P. 95–109 doi: 10.1615/CompMechComputApplIntJ.v2.i2.

10.Pobedrya B.E. Mechanics of composite materials. Moscow: MGU Press, 1984. (in Russian).

11.Sokolkon Yu.V., Tashkinov A.A. Mechanics of deformation and destruction of structurally inhomogeneous bodies. Moscow: Nauka Press, 1984. (in Russian).

12.Zaitsev A.V. Regularities of damage accumulation processes and conditions of transition to localized failure of grain composites under quasistatic loading // Physical Mesomechanics. 2004. 7. P. 41–50.

13.Ilinykh A.V. Numerical modeling of structural fracture processes for granular composites with isotropic elements of structure // Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tehnicheskogo Universiteta. Seriya Fisikomatematicheskie nauki. 2011. Is. 2 (23). P. 101–106.

Об авторах

Ильиных Артем Валерьевич (Пермь, Россия) – старший пре-

подаватель кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: ilinih@yandex.ru).

Вильдеман Валерий Эрвинович (Пермь, Россия) – доктор физико-

математических наук, профессор, директор Центра экспериментальной механики Пермского национального исследовательского политехнического университета, профессор кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнчиеского университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: wildemann@pstu.ru).

About the authors

Ilinykh Artem Valerevich (Perm, Russia) – Lektor, Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, State National Research Politechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: ilinih@yandex.com).

60