книги / 639

31. Князева А.Г. Воспламенение П-образного очага разогрева в деформируемой сплошной среде // Физ. гор. и взр. – 1993. – Т. 29,

№4. – С. 3–13.

32.Махвиладзе Г.М., Новожилов Б.В. Двумерная устойчивость горения конденсированных систем // ПМТФ. – 1971. – № 5. – С. 51–59.

33.Knyazeva A.G. The stationary modes of the reaction front and their stability For solid media with regard to chemically induced Internal stresses and strains – in Book “Combustion of energetic materials. Selected papers of 5 Int. Symp. On Special Topics in Chemical Propulsion” Italy, Stresa, June, 18–22 2000 // Kluwer Academic Publishing, 2001 – P. 867–878.

References

1.Boldyrev V.V. Reaction ability of solid substances (on the example of decomposition reaction) / SB RAS, Institute of Solid State Chemistry and Mechanochemistry. Novosibirsk, 1997. 303 p.

2.Merzhanov A.G., Mukasyan A.S. Solid flaming. М.: TORUS PRESS, 2007. 336 p.

3.Timokhin A.M., Knyazeva A.G., Propagation modes of the solidphase reaction front in a coupled thermomechanical model of solid-phase combustion // Khim. Fiz. 1996. 15, No. 10. P. 1497–1514 (in Russian).

4.Knyazeva A.G. Solution of the thermoelasticity problem in the form of a traveling wave and its application to analysis of possible regimes of solid-phase conversions // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2003 44, No. 2. P. 26–38.

5.Knyazeva A.G. Macrokinetics application to technology processes modeling // Phys. Mesomech. 2004. 7. Spec. Iss., P. 1. P.12–15.

6.Knyazeva A.G. Combustion wave propagation through deformed solids // Combust. Explos. Shock Waves. 1993. 29. No. 3. P. 299–303.

7.Merzhanov A.G., Khaikin B.I. Theory of combustion waves in homogeneous media, ISM AN, Chernogolovka, 1992 (in Russian).

8.Novozhilov B.V. Rate of exothermal reaction front propagation in a condensed medium // Dokl. AN SSSR. 1961. 141, No. 1. P. 151–153 (in Russian).

9.Chaschina A.A., Knyazeva A.G. Regimes of solid-phase reaction propagation in a slit between two inert plates // Fiz. Mezomekh. 2004. 7. Spec. Iss. P. 1. P. 82–85.

121

10.Shkadinskii K.G., Khaikin B.I. Effect of heat loss on exothermal reaction front propagation in the k -phase // Combustion and detonation. Nauka: Moscow, 1972. P. 104–109 (in Russian).

11.Knyazeva A.G., Pobol I.L., Gordienko A.I. Coating formation in SHS-regime during thermal treatment of material by moving energy source // Proc. of 7th Int. Conf. on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, 25–30 July 2004. Tomsk, 2004. P. 178–183.

12.Kovalenko A.D. Thermoelasticity. Basic Theory and Applications, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1969.

13.Melan E., Parkus H. Wärmespannungen Infolge Stationärer Temperaturfelder. Wien: Springer, 1953. 167 с.

14.Boley B.A., Weiner J.H. Theory of thermal stresses, Dover Publications. Mineola, NY, 1997.

15.Nowacki W., Dynamic problems of thermoelasticity. Noordhoof International, Leyden, 1976. 256 с.

16.Bland D.R. Nonlinear dynamic elasticity. Blaisdell, Waltham, Mass. – 184 с.

17.Knyazeva A.G. Velocity of the simplest solid-phase chemical reaction front and internal mechanical stresses // Combust. Explos. Shock Waves. 1999. 30. No. 1. P. 43–53.

18.Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Stationary wave of a chemical reaction in a deformable medium with finite relaxation time of the heat flux // Combust. Explos. Shock Waves. 1995. 31. No. 3. P. 304–312.

19.Knyazeva A.G., Timokhin A.M., Dyukarev E.A. Supersonic regimes in the solid phase combustion models with regard to the thermomechanical processes // in Proc. of Second Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, V.K.Bulgakov, A.I.Karpov (Eds.) Khabarovsk State University, September, 13–17, 1995. P.210–221.

20.Dyukarev E.A., Knyazeva A.G. Thermomechanical model of front propagation for low temperature reaction of butyl chloride chlorination. Chemical physics of the combustion and explosion processes, XI Symp. on Comb. And Expl. Chernogolovka: BICPH, 1996. Vol. 2. P.72–76 (in Russian).

21.Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. On the modes of solid phase decomposition of single crystals of priming explosives // Phys. Mesomech. 2000. 3. No. 3. P. 97–106.

122

22.Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of stationary conversion front propagation in a viscoelastic medium // Combust. Explos. Shock Waves. 2000. 36. No. 4. P.41–51.

23.Knyazeva A.G., Sorokova S.N. Steady regimes of conversion in a viscoelastic medium // Combust. Explos. Shock Waves. 2006. 42. No. 5. P. 549–558.

24.Knyazeva A.G. Influence of rheology properties of medium on the ignition and combustion characteristics // Unsteady combustion and interior ballistics SPb.: Baltic State Technical University, 2001. Vol. 1. P.30–40.

25.Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of detonation of lead aside (PbN3) with regard to fracture // Int J. of Fracture. 1999. Vol. 100. No 2. P.197–205.

26.Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of autowave propagation of solid-state low-temperature chlorination of butyl chloride // Combust. Explos. Shock Waves. 1998. 34. No. 5. P. 556–565.

27.Knyazeva A.G., Chaschina A.A. Thermomechanical stability of the solid-phase conversion front in a slit between two inert plates // Proc. of Int. Conf. “Fundamental and Applied Problems of Mechanics”, 8–11 October 2003. Khabarovsk, 2003. P. 111–121 (in Russian).

28.Knyazeva A.G., Sorokova S.N. Stability of the combustion wave in a viscoelastic medium to small one-dimensional perturbations // Combust. Explos. Shock Waves. 2006. 42, No. 4. P. 411–420.

29.Knyazeva A.G. Solid phase combustion at the conditions of plane stressed state. 1. Stationary wave // J. Appl. Mech. Theor. Phys. 2010. No. 2, Vol. 51. P. 27–38.

30.Knyazeva A.G. Phase combustion at the conditions of plane stressed state. 2. Stabality to small perturbations // J. Appl. Mech. Theor. Phys. 2010. No. 3, P. 51. С. 24–31.

31.Knyazeva A.G. Hot-spot thermal explosion in deformed solids // Combust. Explos. Shock Waves, 1993. 29, No. 4. P. 419–428.

32.Makhviladze G.M., Novozhilov B.V. Two-dimensional stability of the combustion of condensed systems // J. Appl. Mech. Theor. Phys. 1971. 12, No. 5. P. 676–682.

33.Knyazeva A.G. The stationary modes of the reaction front and their stability For solid media with regard to chemically induced Internal stresses and strains Combustion of energetic materials. Selected papers of 5 Int. Symp. On Special Topics in Chemical Propulsion Italy, Stresa, June, 18–22 2000. Kluwer Academic Publishing, 2001. P. 867–878.

123

Об авторах

Князева Анна Георгиевна (Томск, Россия) – профессор кафедры физики высоких технологий в машиностроении Национального исследовательского Томского политехнического университета, заведующая лабораторией моделирования физико-химических процессов в современных технологиях Института физики высоких технологий в машиностроении Томского политехнического университета; главный научный сотрудник Института физики прочности и материаловедения СОРАН.

About the authors

Knyazeva Anna Georgievna (Tomsk, Russia) – professor of department of PHTM TPU, head of laboratory MPCPMT of Institute of PHT TPU; principal research of ISPMS SB RAS.

Получено 28.10.2011

124

УДК 539.3

Н.С. Кондратьев, П.В. Трусов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

МОДЕЛЬ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОЦК-ПОЛИКРИСТАЛЛОВ С УЧЕТОМ ДВОЙНИКОВОЙ МОДЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Рассматривается двухуровневая физическая модель неупругого деформирования поликристаллических тел с учетом двух мод неупругого деформирования – скольжения и двойникования. Используется согласование определяющих соотношений соседних уровней. Предлагаемая модель позволяет описывать процессы деформирования поликристаллических тел, такие как осадка, стесненная осадка, чистый сдвиг. Приведены постановки задач анализа напряженнодеформированного состояния таких процессов для представительного объема поликристаллических тел, представлены результаты моделирования.

Ключевые слова: неупругое деформирование, двойникование, скольжение, физические теории пластичности, упруговязкопластичность.

N.S. Kondratev, P.V. Trusov

State National Research Polytechnical University of Perm, Perm, Russia

MODEL OF INELASTIC DEFORMATION OF BCC POLYCRYSTALLINE MATERIALS BY SLIP AND TWINNING. NUMERICAL MODELING OF SOME PROCESSES

OF DEFORMATION

The paper considers a two-level crystal elasto-viscoplastic model of polycrystalline bodies, taking into account the two modes of inelastic deformation – slip and twinning. The different scale levels constitutive equations accordance is used. The proposed model allows to describe deformation processes of polycrystalline materials, such as compression, constrained compression, shear. There are formulations of problems for a representative volume of polycrystalline materials and results of simulation.

Keywords: inelastic deformation, twinning, slip, crystal plasticity, elastoviscoplastic.

125

Введение

Поведение материалов на макроуровне определяется эволюцией мезо- и микроструктуры, поэтому актуальной задачей является построение моделей неупругого деформирования моно- и поликристаллов, основанных на физических теориях пластичности. В основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений этих теорий лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах. Для описания структуры и механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах используются параметры, называемые внутренними переменными, которые характеризуют эволюционирующую микроструктуру материала и содержат информацию об истории воздействий на материал [1].

В моделях, основанных на физических теориях, обычно рассматривается один механизм деформирования – внутризеренное скольжение краевых дислокаций. Несмотря на то, что двойникование не является преобладающим видом неупругого деформирования в материалах с большим числом систем скольжения (ГЦК- и ОЦК-кристаллах), экспериментально установлено, что деформирование двойникованием имеет место во многих ОЦК (ГЦК)-металлах с низкой энергией дефекта упаковки при низких гомологических температурах. Двойниковые прослойки служат препятствиями для движения дислокаций и приводят к существенному изменению отклика материала. Учет двойниковой моды деформирования приводит к качественному и количественному изменению отклика материала, что обусловливает необходимость ее моделирования. Для описания предлагается использовать двухуровневую (мезо- и макроуровни) математическую модель; элементами мезоуровня являются кристаллиты (зерна, субзерна), макроуровня – представительный макрообъем; характеристики мезоуровня обозначены строчными буквами, аналогичные параметры макроуровня – прописными.

1. Кинематика деформирования

Кинематическое описание деформирования мезоуровня проводится с использованием четырех конфигураций: отсчетная K0 , две

промежуточные K*t , K**t и текущая (актуальная) Kt . Градиент места fsin описывает неупругое деформирование материала скольжением

126

дислокаций, переводящим отсчетную конфигурацию K0 в промежу-

точную K*t . Градиент места ftwin описывает неупругое деформирование двойникованием, преобразующим промежуточную конфигурацию K*t в промежуточную K**t . Градиент места f e отражает упругое деформи-

рование и переводит промежуточную конфигурацию K**t в текущую Kt . Используется мультипликативное разложение транспонированно-

оператор, определенный в отсчетной конфигурации, r – радиус-вектор

Определение градиента скорости перемещений l и соотношение

(1) позволяет показать справедливость следующего разложения:

Тогда соотношение (2) перепишется следующим образом:

l=le +f e (l**twin +l**s in ) f e−1 .

2.Механизмы неупругого деформирования кристаллита

Внутризеренное скольжение краевых дислокаций по системам скольжения (СС) является основным механизмом неупругого деформирования кристаллитов. В ОЦК-кристаллах скольжение всегда происходит в наиболее плотно упакованных направлениях <111>, а плоскостями скольжения могут быть плоскости {110}, {112}, {123}.

Системы скольжения в К0 и Kt определяются ориентационными тензорами:

127

ли k-й системы скольжения в отсчетной конфигурации.

В физических теориях не рассматривается движение отдельных дислокаций, их распределение предполагается однородным по элементу мезоуровня (зерну, субзерну), что дает возможность рассмотрения неупругой составляющей тензора деформации скорости от скольжения краевых дислокаций в виде

k

где γ&ks – скорость сдвига по k-й системе скольжения.

Условием активации k-й системы скольжения является достижение касательного напряжения в ней некоторого критического напря-

жения τcsk ; данное условие называется законом Шмида:

где σ – тензор напряжений Коши (однородный по рассматриваемому кристаллиту).

Другим механизмом неупругого деформирования является двойникование. Отметим, что двойникование может не вносить большого вклада в неупругую деформацию, но играет весьма важную роль в процессе скольжения краевых дислокаций – основного механизма неупругого деформирования. Процесс двойникования будет рассматриваться подобно скольжению краевых дислокаций. Используя две конфигурации кристаллита: отсчетную конфигурацию (монокристалл находится в недеформированном состоянии) и актуальную (в монокристалле появляются несколько двойниковых прослоек), можно показать, что осредненный (по кристаллиту) градиент места, описывающий формоизменение двойникованием, имеет следующий вид:

128

где E – единичный тензор; btw – направление сдвига двойника; ntw – нормаль к плоскости двойникования; f – представляет собой безразмерную величину, равную отношению объемов двойниковых прослоек, в которых произошел сдвиг, к объему всего кристаллита (объемная доля двойников); γtw – величина постоянного сдвига двойника, равная

для ОЦК-кристалла 0,707.

Полагая, что двойникование происходит непрерывно, f& сущест-

вует и конечно, осредненный градиент скорости перемещений двойникования для монокристалла можно записать в виде [2]

Таким образом, двойникование может рассматриваться как «псевдоскольжение» со скоростью «двойникового» сдвига f&γtw и ориентационным тензором t =btwntw . Далее для каждой k-й системы двой-

никования введем обозначение симметричного ориентационного тензора t(k):

Дислокационный механизм двойникования позволяет записать неупругую составляющую тензора деформации скорости, связанную с двойникованием, в виде, аналогичном (4):

k

Условием активации k-й системы двойникования является достижение касательного напряжения в ней некоторого критического на-

пряжения τctwk ; соотношение, аналогичное закону Шмида (5):

Тогда согласно (2) полная неупругая составляющая тензора деформации скорости может быть определена в аддитивном виде в базисе актуальной конфигурации Kt:

129

kk

3.Двухуровневая модель поликристаллических металлов

На макроуровне рассматривается представительный объем поликристаллического металла, состоящий из совокупности элементов мезоуровня. Конститутивная модель материала на макроуровне записывается в виде

где Σ – тензор напряжений Коши, С – тензор модулей упругости, D, De, Din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющая, индекс r означает независящую от выбора системы отсчета производную, Ω – тензор, описывающий движение подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно деформационное движение [3] на макроуровне. В данной работе для определения Ω и Din предлагается использовать условия согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях [4, 5].

Двухуровневый подход предполагает использование структурного элемента мезоуровня – кристаллита (зерно, субзерно, фрагмент). На мезоуровне в качестве определяющего соотношения также используется закон Гука с учетом анизотропии кристаллической решетки [6]:

σr =c:de =c:(d−din ),

(13)

σr =σ& −ω σ+σ ω,

где σ – тензор напряжений Коши; σr – коротационная производная тензора напряжения Коши; с – тензор четвертого ранга упругих свойств ОЦК-кристалла (кубическая симметрия); d, de, din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие; ω – тензор спина, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки. В данной работе тензор спина определен в соответствии

130