Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Чаще на практике необходимо вычислить в конечном итоге не са-

ные коэффициенты. (То же следует сделать в рассматриваемой зада- че. Коэффициенты An и Bm необходимы нам для того, чтобы с помо- щью рядов (10.2) и (10.4) определить давление в областях I и II). Для этого следует определить такое количество величин xn, чтобы обеспе-

∞

чить сходимость ряда ∑ cn xn . n =1

Условие регулярности является достаточным для решения беско- нечных систем уравнений методом редукции. Однако существуют и более слабые условия, которые тоже дают возможность находить ре- шение бесконечных систем методом редукции. Как правило, для схо- димости рядов достаточно требования [60, с. 103]:

Сделаем существенное замечание: условие регулярности для бес- конечных систем уравнений является достаточным, но не необходи- мым условием. Поэтому, если это условие не выполняется или прове- дение такого анализа осложнено непростым видом матрицы коэффи- циентов системы уравнений, то вопрос о возможности решения та- ких систем методом редукции определяется в процессе численного эксперимента, т.е. методом редукции при постепенном увеличении порядка системы. Система будет иметь решение, если в ходе экспе- римента имеем:

•условия сопряжения выполняются с необходимой точностью;

•наблюдается сходимость полученного решения при увеличении порядка системы уравнений в процессе редукции;

•выполняется закон сохранения энергии.

Наличие современных ЭВМ позволяет успешно проводить численный эксперимент, поэтому он широко применяется в современной практике решения бесконечных систем уравнений. В дальнейшем мы также его будем использовать.

10.3. Использование условия на ребре при применении метода частичных областей

Наличие структурных элементов в виде клина или конуса является достаточно типичной ситуацией для разных моделей, кото- рые моделируют реальные тела, рассеивающие или излучающие зву- ки. Как мы знаем (см. п. 9.11.3), в окрестности таких элементов на-

611

блюдается особенность звукового поля, которая определяется условия- ми Мейкснера (см. (9.124)-(9.126)), т.е. характер поля вблизи ребра априори нам известен. В связи с этим возникает вопрос: как изме- нится эффективность численного алгоритма решения конкретной за- дачи, построенного по методу частичных областей, если учесть опре- деленным образом особенность звукового поля вблизи ребер.

В поисках ответа на поставленный вопрос рассмотрим конкрет- ную задачу; выводы, которые сделаем при ее анализе, будут иметь общий характер. Вернемся к задаче о распространении плоской вол- ны в составном волноводе (рис. 10.1). С помощью метода частичных областей определение поля в волноводе было сведено к решению бес- конечной системы (10.11) линейных алгебраических уравнений вто- рого рода. К таким системам можно применить метод редукции и в ходе численного эксперимента определить решение.

Вновь построим решение задачи о составном волноводе (рис. 10.1), но при этом будем учитывать особенности звукового поля вблизи ребра [15]. Введем полярные координаты r, ψ с началом в точ- ке x = 0, z = h1 (рис. 10.1). Согласно условиям Мейкснера (9.124)— (9.126) при внешнем угле клина α = 3π2 на рис. 10.1 звуковое поле

давления и составляющие колебательной скорости в окрестности угла определяются соотношениями:

где c1, c2, c3, c4 — величины, которые не зависят от r и ψ. В окрестно- сти ребра давление остается конечной величиной, в то время как компоненты скорости стремятся к бесконечности в виде (kr )−13 . Эту

особенность звукового поля вблизи ребра мы обсуждали в п. 9.11.3. Вернемся к формулам (10.2) и (10.4), определяющим разложение

поля давления в областях I и II. Они представляют собой ряды Фу- рье, которые в любом сечении x = const определяют разложение поля

давления по ортогональной системе функции cos (nπzh1 ) или cos (nπzh2 ) . Для нахождения неизвестных коэффициентов An и Bn

следует расписать условия сопряжения (10.6), (10.7). Итак, запишем поле давления и его производной по координате x в сечении x = 0:

612

Решение системы (10.37) дает возможность определить приближенное решение задачи. Затем следует увеличить числа N и M на единицу и снова выполнить расчет и т.д. Последовательную процедуру расчетов можно прекратить, как это обычно делается, когда будет достигнута стабильность результатов (согласно некоторому критерию). Если бес- конечные суммы в (10.37) не удается вычислить аналитически, то они заменяются конечными с достаточно большим количеством слагае- мых.

Соответствующая редукция системы (10.11) приводит ее к виду:

Основное различие в процедурах поиска решения, одна из кото- рых привела к системе уравнений (10.37), другая — к системе (10.38), заключается в том, что при отыскании решения системы (10.37), со- стоящей из M + N + 2 уравнений, мы не отбрасываем бесконечные “хвосты” этих уравнений (см. (10.11)), а благодаря использованию ус- ловия на ребре учитываем взаимовлияние всех неизвестных величин. Поэтому можно ожидать, что такой алгоритм даст лучшие результа- ты, чем простая редукция системы (10.38).

Проведем сравнительный анализ. Для решения в виде рядов (10.2) и (10.4) характерным есть то, что они тождественно удовлетворяют уравнению Гельмгольца и граничным условиям на поверхности вол- новода (z = 0, z = h1 при x ≤ 0 ; z = 0 и z = h2 при x ≥ 0 ) при любом ко- личестве членов, которые удерживаются в рядах (10.2), (10.4). Поэто- му, ограничиваясь конечным числом неизвестных при переходе от бесконечной системы к конечной, мы приходим к приближенному выполнению именно условий сопряжения звуковых полей на границе раздела x = 0 между частичными областями I и II. Понятно, что это общая ситуация для метода частичных областей.

616

Поскольку давление и колебательная скорость представлены в ви- де комплексных чисел, то возможны несколько вариантов их сравне- ния на границе радела частичных областей:

1)действительной и мнимой частей комплексных чисел;

2)модуля и аргумента комплексных чисел, т.е. амплитуды и фазы давления или колебательной скорости;

3)модуля разности давления или колебательной скорости, которая соответствует определению расстояния между точками на комплекс- ной плоскости.

Выберем третий вариант. Итак, будем исследовать относительные

отклонения на границе раздела областей I и II (x = 0, z = [0,h1]):

где p0 i υx0 — амплитуды давления и колебательной скорости в падающей волне (10.1).

Рис. 10.2. Диаграммы отклонения δυ на границе x = 0, z = [0,h2]:

h1 / λ = 0,9; h2 / λ = 1,9; M = N = 63, кривая 1 — система (10.37), кривая 2 —

система (10.38)

617

Как пример, на рис. 10.2 представлены расчеты отклонения δυ для волновода размерами h1 / λ = 0,9; h2 / λ = 1,9 для разных систем (кривая 1 соответствует решению системы (10.37), кривая 2 — (10.38)). Значение отклонения δυ вычислялось в 400 точках на отрезке [0,h2]. Как видим, наблюдается значительное уменьшение значения δυ при учете условия на ребре. Согласно выбранным размерам волновода в области I имеем две однородных моды, а в области II — четыре, все другие моды — неоднородные. Это свидетельствует о том, что вблизи места резкого изменения площади сечения волновода в звуковом поле существенную роль играют неоднородные волны. Итак, учет данных об асимптотических свойствах коэффициентов возмущения неодно- родных мод позволяет значительно расширить возможности исследо- вания поля в точках вблизи ребра.

Сделаем еще одно важное замечание. Если не интересоваться по- лем непосредственно вблизи ребра, то использование метода простой редукции (в нашей задаче это система уравнений (10.38)) целиком оправданно, ведь для обоих случаев (системы (10.37) и (10.38)) вдали от ребра решения с графической точностью совпадают. Это полезное наблюдение следует учитывать, чтобы, не усложняя расчетную схему задачи, получить результат значительно более простыми способами. В дальнейшем именно так мы и будем делать, используя метод простой редукции с обязательным контролем значения отклонения при вы- полнении условий сопряжения звуковых полей, сходимости решения задачи и выполнения закона сохранения энергии.

10.4. Использование разных систем координат в методе частичных областей

Соображения, которые приведены в параграфе 10.1, доста- точно наглядно объясняют процедуру построения общего решения в методе частичных областей. Дальнейшим развитием метода является использования одновременно разных систем координат при построе- нии общего решения граничной задачи. В качестве примера, иллюст- рирующего такую возможность, рассмотрим задачу об определении собственных частот конечной области, заполненной акустической сре- дой. Пусть такой областью является прямоугольный треугольник ОАВ с жесткими границами ОА, АВ, ОВ (рис. 10.3). Размеры сторон таковы: OA = a, AB = b, OB = c. Прямоугольный треугольник здесь рассматрива- ется только для упрощения записи поля. В общем случае никаких ог- раничений на форму треугольника не накладывается.

Теперь вспомним, как была решена задача о нормальных волнах плоского волновода (см. п. 5.11.2). Мы искали решение с помощью разделения переменных. Такой подход позволил получить решение в виде ряда типа (10.2). Вообще процедура разделения переменных

618

Попробуем понять, почему решение (10.41) можно назвать общим. Дело в том, что здесь выделены ряды Фурье по каждой из сторон тре- угольника, наличие которых обеспечивает общность решения (10.41) граничной задачи. Убедимся в этом. Например, рассмотрим гранич- ное условие на стороне OA. Поскольку стороны треугольника выбраны акустически жесткими, то на стороне OA выполняется условие

Используя формулы преобразования декартовых координат [8]:

подставляем (10.41) в граничное условие (10.43) и получаем соответ- ствующее функциональное уравнение. Далее, используя ортогональ-

ность системы функций cos (nπxa ), n = 0,1,2,..., на отрезке [−a,0],

приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравне- ний второго рода:

∞

Am + ∑ Cnamn = 0, m = 0,1,2... (10.45) n =0

Выражения для известных коэффициентов amn записывать не будем. Уравнение типа (10.45) справедливо и при рассмотрении гранич-

ных условий на стороне AB, где

Записывая это условие и используя ортогональность системы функ- ций cos (nπyb), n = 0,1,2,..., приходим к следующей бесконечной системе алгебраических уравнений второго рода:

∞

Bm + ∑ Cnbmn = 0, m = 0,1,2… (10.47)

n =0

620