19

§ 2.3. Группирование электронов

При рассмотрении процесса модуляции по скорости был использован рис. 2.3, на котором начало координат совпадает с положением первой сетки резонатора. Для анализа процесса группирования удобнее начало координат сместить в середину зазора (точка 1 на рис. 2.3), которую электрон проходит в момент времени t1 . При этом можно заменить

реальный зазор бесконечно узким с напряжением M1 U1 и приблизительно считать, что значение скорости v1 , определяемое формулой (2.11), соответствует началу координат

z=0.

В пространстве группирования пролетного клистрона отсутствуют электрические поля (см. рис. 2.1), поэтому движение электронов в нем должно быть равномерным со скоростью v1 . Моменты времени t2 , в которые эти электроны достигнут точки 2 на рис. 2.3 с координатой z=s, будут

Подставляя в (2.12) значение v1 из (2.11), получаем

Учитывая, что M1 <1 и ξ1 <<1 [см. условие (2.5)], т. е. M1ξ1 <<1, по правилу приближенных вычислений формулу (2.13) можно привести к виду

Величина

есть время пролета невозмущенным электроном пути s, a

угол пролета невозмущенного электрона. Умножая обе части равенства (2.14) на ω и учитывая (2.16), получаем

Введя обозначение

можно записать (2.17) в виде

Полученное соотношение называется уравнением группирования электронов, а величина X, определяемая формулой (2.18) — параметром группирования.

На рис. 2.5 показана рассчитанная по уравнению (2.19) зависимость ω t2 от ω t1 при различных значениях параметра группирования X. Значения ω t1 взяты в пределах одного периода напряжения, изображенного на нижней части рис. 2.5. Значение ω t1 =0

20

соответствует невозмущенному электрону, пролетающему середину резонатора в момент перехода от тормозящего к ускоряющему полупериоду.

Очевидно, полное группирование может наблюдаться, если все электроны, прошедшие резонатор в различные моменты времени периода t1 соберутся в сечении с координатой z=s в один и тот же момент времени t2 соответствующий прямой АВ. В реальных

условиях полное группирование не наблюдается. При Х=0 связь ω t2 и ω t1 по формуле (2.19) линейная (прямая CD), т. е. происходит одинаковое запаздывание всех электронов и никакого группирования нет. С увеличением параметра Х кривая зависимости ω t2 от ω t1 все сильнее отклоняется от прямой линии CD и при Х=1 касается прямой AB. Далее

при Х>1 кривые пересекают прямую АВ в трех точках. Таким образом, с увеличением параметра Х отдельные участки кривых могут располагаться вблизи прямой АВ, но полного группирования не наблюдается.

Отсутствие полного группирования связано с синусоидальной формой напряжения

Рис. 2.5

между сетками резонатора, которое создает модуляцию скорости электронов. Полное группирование возможно лишь при специальной форме СВЧ-напряжения, показанного

на рис. 2.5 пунктирной линией. Однако с помощью одного резонатора невозможно получить напряжение «пилообразной» формы, содержащей много гармонических составляющих.

Найдем закон изменения конвекционного тока в произвольном сечении 2 от времени, т.

времени t2 . Вследствие периодичности процессов достаточно произвести изменение t2 в пределах одного периода (от ω t2 =θ0 −π до ω t2 =θ0 +π на рис. 2.5).

На рис. 2.6 отмечено несколько значений t2 ( t2I ,t2II ,t2III ,t2IV ,t2V ) и одинаковый интервал ∆t2 около этих значений. Заряд, прошедший через сечение за ∆t2 при tI2, определяется числом

21

электронов, которые пролетели через резонатор в интервале времени ∆tI1 около tI1. В резонаторе электроны еще не сгруппированы, т. е. равномерно распределены во времени и создают постоянный ток I0 Заряд, проходимый за 1 с, есть I0, а за интервал ∆tI1

∆q(t2I ) = I0 ∆t1I . Поэтому по формуле (2.20)

Аналогично для t 2II следует учесть две группы электронов (а и с):

Наиболее интересен момент t2111 , для которого заряд ∆q(t2111 ) будет определяться

одновременно тремя группами электронов, пролетевшими резонатор соответственно в интервалах ( ∆t1111 )a , (∆t1111 ) b , (∆t1111 )c вблизи (t1111 )a , (t1111 )b и (t1111 )c , но пришедшими в результате группирования в сечение 2 одновременно. Поэтому

∆q(t2111 ) = I0 (∆t1111 )a + I0 (∆t1111 )b + I0 (∆t1111 )c

а величина тока

Для моментов времени t21V и t2V формулы для токов аналогичны

22

Очевидно, что при Х<1 для любого значения t 2 будет одна группа электронов, так как связь t1 с t2 однозначная. Однако, при Х>1 связь t1 с t2 может быть как однозначной, так и неоднозначной, в зависимости от рассматриваемого момента времени t 2 . Для случая

неоднозначной связи ток должен находиться по формуле, являющейся более общей записью формулы (2.21):

Величину ∆t1/∆t2 можно найти из (2.17), определив производную dt1/dt.2

В формуле (2.21 а) все слагаемые ∆t1/∆t2 положительные, так как все группы электронов увеличивают ток. Появление знака минус означало бы изменение направления движения электронов какой-то группы, а этого не происходит. Однако по формуле (2.22) dt1/dt.2 может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Появление знака минус здесь означает лишь то, что в данной группе электронов одни электроны обгоняют другие. Направление движения электронов не изменяется, и ток должен увеличиваться за счет этой группы электронов. Поэтому в формулу (2.21 а) надо вместо ∆t1/∆t2 2

подставлять абсолютную величину выражения (2.22):

Тогда вместо (2.21а) можно написать

Для нахождения зависимости i2 (t2 ) необходимо для каждого момента времени t 2 определить t1 по формуле (2.17), т. е. рассматривать в формуле (2.23) t1 как функцию t 2 . При X ≤1 dt1/dt.2 2 всегда положительна и вместо формулы (2.23) можно написать

На рис. 2.7 показана зависимость конвекционного тока от времени, определенная по формуле (2.23) для четырех значений параметра группирования X. Для X ≤1 расчет производят по формуле (2.23а). При Х=0 i2 = I0 . Если Х<<1, то Xcosω t1 <<1 и по

формуле (2.23а) i2(t)≈I0(l+Xcosωt1). Так как связь t2 и t1 при Х<1 однозначная, то и зависимость i2(t2) должна быть приближенно синусоидальной с частотой ω, равной частоте напряжения на первом резонаторе.

С увеличением Х все резче проявляется несинусоидальный характер кривой тока, но периодичность остается прежней (Т=2π/ω). При Х=1 появляются бесконечно большие

23

невозмущенных электронов, прошедших первый резонатор в момент времени t1 =0. Этому

бесконечно большим. При Х> 1 в пределах периода появляются два бесконечно больших импульса, так как на рис. 2.6 производная dt 2 /dt1 равна нулю в двух моментах времени

(t2IV и t211 ) .

Изображенные на рис. 2.7 зависимости представлены как изменение во времени конвекционного тока в выбранном сечении пространства группирования (между первым и вторым резонаторами) при различных параметрах группирования X. Однако если выбрать определенный момент времени, то эти же графики позволяют судить о зависимости конвекционного тока от координаты z. Параметр группирования пропорционален углу пролета или расстоянию от входного резонатора [см. формулу (2.16)]. Поэтому большему значению z соответствует больший параметр группирования. Наглядно зависимость тока от времени и координаты в пространстве группирования изображена на рис. 2.8: при

24

выбранном расстоянии ток зависит от времени, а для заданного момента времени t—от расстояния.

Конвекционный ток в клистроне резко несинусоидальный, поэтому кроме первой гармоники (с частотой ω, равной частоте входного сигнала) он должен содержать много других гармонических составляющих.

Функция (2.23), разложенная в ряд Фурье, имеет вид

где m—номер гармонической составляющей, а Jm(mХ)—функция Бесселя первого рода m- го порядка от аргумента mХ. Амплитудное значение гармоник с номером m

Для анализа процессов в клистроне удобны графики зависимости Jm от параметра группирования Х при различных номерах гармоник m. Эти пересчитанные функции Бесселя показаны на рис. 2.9. Функция J1 (X) достигает максимального значения 0,58 при X=1,84. Этому параметру группирования соответствует максимальное значение

При одновременном приходе всех электронов в заданную точку (полное группирование, соответствующее прямой АВ на рис. 2.5) I(1) = 2I0 , так как форма волны тока имеет вид

δ -функции.

Формула (2.24) справедлива для любой точки пространства группирования, поэтому в ней можно опустить индекс 2:

При этом первую гармонику тока запишем в виде

или с учетом (2.25)

Аналогично для гармоники с любым номером