205
§ 15.2. Условия самовозбуждения и мощность лазера
Условия самовозбуждения. На общей схеме квантового генератора (см. рис. 12.8) обратная связь изображена как внешняя связь выхода усилителя со входом. В реальных лазерах обратная связь осуществляется с помощью зеркал 1 и 2 (рис. 15.7), между которыминаходится лазерное вещество. Это вещество может занимать как все пространство между зеркалами, так и часть его. Понятие «вход» становится условным, так как излучение после отражения от зеркала возвращается в ту же область вещества (торец), из которой оно выходило. Существенно лишь то, что вернувшееся излучение снова взаимодействует с активной средой. Условия самовозбуждениявключаютвсебябалансфазибалансмощностей.
Баланс фаз фактически рассмотрен в § 15.1. Он заключается в том, что при одном цикле прохождения излучения (от любой выбранной точки А к зеркалу 2, от него к зеркалу 1 и после отражения от него в точку А) изменение фазового угла должно быть кратно 2π. Изменение фазы при одном цикле прохождения, т. е. на пути 2L в резонаторе, полностью заполненномактивнойсредой, ибалансфазможнозаписатьввиде
ϕ = (2π / λq )2L = 2π q, |
(15.6) |
или |
(15.7) |
L = qλq / 2, |
где q — целое число (продольный индекс).
Таким образом, баланс фаз означает, что на длине резонатора существует поле стоячей волны. Балансфазопределяетчастотулазерногоизлучения.
Для рассмотрения баланса мощностей, определяющего мощность стационарных колебаний, предположим, что в некоторый момент времени возникло спонтанное излучение. Для простоты будем считать, что оно возникло в точке А вблизи зеркала 1 и распространяется к зеркалу 2 (см. рис. 15.7). На пути L до зеркала 2 в соответствии с законом Бугера (12.50) мощность излучениявозрастаетотзначенияР′1 доР′2:
где æа — показатель усиления активной среды; αа — показатель потерь активной среды,
учитывающий потери вследствие рассеяния излучениянанеоднородностях Если Г2 — коэффициент отражения зеркала 2, то мощность отраженного излучения
составит
Это излучение при обратном распространении к зеркалу 1 усиливается в активной среде до
206
После отражения от зеркала 1, имеющего коэффициент отражения Г1 , мощность уменьшится до
(15.8)
Самовозбуждение, естественно, возможно только при условии Р″′1 > Р′1 или с учетом
(15.8), когда
(15.9)
Это условие аналогично условию самовозбуждения в автоколебательных системах Кβ>1, где К и β — коэффициенты усиления и обратной связи соответственно. В рассматриваемом случае К=ехр (æа—αa)2L— коэффициент усиления за один цикл, а β=Г1Г2, при этом дифракционные потерисчиталисьнезначительными.
Если выполняется условие самовозбуждения (15.9), то мощность колебаний будет нарастать до стационарного (установившегося) значения, которое определяется нелинейными свойствами среды. Ограничение мощности колебаний связано с эффектом насыщения (§ 12.3), учитывающим уменьшение показателя усиления среды æа при увеличении плотности излучения. Режим стационарных колебаний соответствует превращению условия (15.9) в условие стационарности колебаний
Логарифмируя этовыражение, получаем
Таким образом, в стационарном режиме показатель усиления среды определяется коэффициентом потерь αа в среде, длиной среды L и произведением Г1Г2 коэффициентов отражения зеркал. Усиление необходимо для покрытия потерь в среде и в зеркалах, вызванных частичным рассеянием, поглощением и выходом излучения из резонатора через зеркала. Второе слагаемое в условии (15.11), очевидно, и учитывает потери в зеркалах, в том числе на полезноеизлучение
Соответственно условие стационарного режима (15.11) запишется в виде
гдеα— коэффициентполныхпотерь. Итак, встационарномрежимепоказательусилениясреды равенпоказателюполныхпотерь.
Мощность излучения. Энергию, выделяемую в стационарном режиме внутри всего объема V=LS активной среды за 1 с во всем спектральном интервале, соответствующем переходу между двумя лазерными уровнями, называют мощностью генерации (Рген), а отнесенную к единицеобъема, удельноймощностью генерации:
Эта величина характеризует эффективность использования активной среды.
Рген и Рген.уд учитывают только усиление в среде. Поэтому Рген.уд можно определить по закону Бугера(12.50а). Очевидно, величина изменения мощности dP (z) на элементе dz, пересчитанная к 1 см3, есть dP(z)/dz, но по определению это Рген.уд. Из закона БугераdP (z) /dz=æaP(z), поэтому
Подставляя в (15.15) проходящую мощной P(z) из формулы (12.40) получаем
207
Поэтомумощностьгенерации
В формулы (15.16) и (15.17) необходимо подставлять значения æ и uν для стационарного режима. Первая величина равна коэффициенту полных потерь α, а uνст определяется из формулы (12.59):
Тогда
Из формулы (15.19) следует очевидный вывод, что мощность генерации прямо пропорциональна разности начального коэффициента усиления æ°а и коэффициента полных потерь α. Мощность Рген относится к стационарному режиму, следовательно, она равна сумме мощности потерь в среде и зеркалах. Если пренебречь рассеянием и поглощением в зеркалах, то мощность потерь будет равна мощности излучения, выходящего из резонатора через зеркала. Последнюю назовем мощностью излучения (Ризл). Очевидно, что существует следующее соотношение:
Подставляя в него Рген из формулы (15.19), получаем
Или с учетом формулы (15.14)
Увеличение начального коэффициента усиления æ°а всегда приводит к росту Рген и Рген.уд , так какдляувеличенияæ°а требуетсяповысить мощность накачки.
.Выходящая из резонатора мощность Ризл зависит от коэффициентов пропускания зеркал, которые при отсутствии рассеяния и поглощения в материале зеркал равны (1—Г1) и (1—Г2). Величины αз и α могут быть выражены через Г1 и Г2 с помощью формул (15.12) и (15.13). Если коэффициент потерь αз=0 (Г1=Г2=1), то Ризл.уд=0. Этот результат очевиден: излучение не может выйти из резонатора, хотя генерация существует. При увеличении αз Ризл.уд сначала растет, достигая максимума, а затем уменьшается до нуля, когда потери становятся настолько большими, чтоусловиесамовозбуждения(15.9) не выполняется, т.е. когда
æ°а <α = αa + α3 . |
(15.23) |
Пороговое значение коэффициента потерь зеркал αз определяется при замене знака неравенства знаком равенства:
Используя формулу (15.12), условие (15.24) можно записать ввиде
208
Из этого условия можно найти пороговое значение длины Lпор при заданных Г1 и Г2 и, наоборот, (Г1Г2)пор при заданной длине. При заданных Г1Г2 и L можно определить пороговое значение начальногокоэффициентаусиления.
Из этого условия можно найти пороговое значение длины Lпор при заданных Г1 и Г2 и, наоборот, (Г1Г2)пор при заданной длине. При заданных Г1Г2 и L можно определить пороговое значение начальногокоэффициентаусиления.
Зависимость Pизл.уд от Г1Г2 показана на рис. 15.8 для
различных величин произведения æ°а L. Максимальное значениеполучаетсяприоптимальномзначении(Г1Г2)опт, при этом, чем больше начальный коэффициент усиления или
длинаL, темменьше (Г1Г2)опт.
Так как L и Г1Г2 одновременно входят в коэффициент потерь, то должна также существовать оптимальная длина
LОПТ при заданных значениях æ°а, αа и Г1Г2 (рис. 15.9,а).
Кривые мощности начинаются при пороговой длине Lпор (начало генерации). С ростом длины Ризл.уд быстро увеличивается, проходит через максимум и далее
сравнительно медленно уменьшается. При L→ ∞ съем энергии с единицы объема среды приближается к нулю. Это означает, что основная часть энергии, генерируемой в среде, расходуется на потери в этой среде. Максимум не зависит от коэффициентов отражения, от них зависит положение максимумов Lonт и пороговые значения длины Lпор Чем больше Г1Г2, тем меньше Lопти L пор.
В соответствии с формулой (15.22) максимальное значение удельной мощности наступает при оптимальном значении коэффициента потерь аз.опт, которое определяется из условияdPизл.уд/dαз=0:
Подставив это значение в формулу (15.22), получим
Самое большое значение максимальной удельной мощности (предельное значение) получается при отсутствии потерь (αа =0) или при условии αа << æ0а. Предельная мощность излучения в режиме генерации оказывается равной предельной мощности, получаемой в режиме усиления по формуле (12.65). Это очень важный результат. Наличие потерь в активной среде (αа≠0) приводит к снижению максимальной величины мощности в формуле (15.25). При заданных небольших потерях αа снижение мощности можно избежать одновременным увеличением начального коэффициента усиления æ°а, т. е. практически увеличением мощностинакачки.
209
Зависимость всей выходной мощности Ризл.=Ризл.уд,LS от длины не имеет максимума (рис. 15.9,б), но имеет тенденцию к насыщению. Следует отметить, что кривые для различных Г1Г2 пересекаются. До точки пересечения выгоднее брать большие коэффициенты отражения, после нее — меньшие, так как при этом получаются большие значения мощности. Кривые не пересекаются лишь при отсутствии потерь в среде, когда
αа=0.