7.10. Определение напряжений и перемещений

в витых пружинах

Одним из простых примеров применения теоремы Кастилиано (7.12), (7.15) к определению перемещений является расчёт винтовой пружины.

а) б)

Рис. 7.22

Винтовая, или витая, пружина – это пространственно изогнутый стержень (рис. 7.22,а). На рис. 7.22,б показана отсечённая часть пружины с углом подъёма витка . Приведём, направленную по оси пружины силу Р к центру тяжести сечения. В результате получим вектор-момент Разлагая его на направление касательной к винтовой линии и перпенди-

кулярное направление, найдём крутящий и изгибающие моменты:

Нормальной силой , перерезывающей силой пренебрежём.

60

Так как моменты всюду постоянны, то на основании (7.1):

Перемещение точки приложения силы Р к пружине:

Наибольшее напряжение изгиба:

Наибольшее напряжение кручения:

На практике обычно применяются пружины с малым углом подъёма . Для таких пружин можно принять Тогда

.

Условие прочности:

7.11. Теорема о взаимности работ и перемещений

Теорема о взаимности вместе с теоремами Лагранжа и Кастилиано от-

носятся к общим теоремам сопротивления материалов. Она вытекает из принципа независимости действия сил для линейных упругих систем.

Рассмотрим упругое тело, к которому в точках А и В приложены соответственно силы и (рис. 7.23).

Используя принцип независимости действия сил, вычислим работу, ко-

торую совершают силы при прямом и обратном порядке их приложения. Приложим сначала силу Р_А. Она совершит работу Затем прило-

жим силу Р_В. Она совершит работу Одновременно с этим совер-

61

шит работу уже действующая сила на некотором перемещении , которое совершит точка А от действия силы Эта работа равна

а) б)

Рис. 7.23

Таким образом, в теле будет накоплена потенциальная энергия:

Аналогично при обратном приложении сил будет накоплена энергия:

Сравнивая выражения работ, получим:

(7.22)

Соотношение (7.22) выражает собой теорему о взаимности работ: работа силы на перемещении точки её приложения от действия силы равна работе силы на перемещении точки её приложения от действия силы

Под силами и перемещениями можно понимать обоб-

щённые силы и перемещения. Если , то и мы приходим к теореме о взаимности перемещений: перемещение точки А под дей-

ствием силы Р, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием той же силы, приложенной в точке А. Рис. 7.23,б иллюст-

рирует теорему о взаимности перемещений. Если силы то имеем

62

Пример. Пусть требуется найти прогиб точки В посередине пролёта балки от действия момента m в опоре А (рис. 7.24).

а) б)

Рис. 7.24

Для определения перемещения (рис. 7.24,а) воспользуемся теоремой о взаимности работ. Рассмотрим такую же балку, нагруженную в точке В силой Р

(рис. 7.24,б). Решение этой задачи нам известно:

На основании теоремы о взаимности работ

откуда прогиб