7.4. Принцип возможного изменения сил

и формула Кастилиано ¹⁾

Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р

(рис. 7.5).

а) б)

Рис. 7.5

Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р

(рис. 7.5). Концевое сечение балки совершит действительное перемещение Опорные реакции будут:

¹⁾ К.А. Кастилиано (1847-1884)-итальянский механик и инженер.

44

Предположим, что сила получила возможное (воображаемое) при-

ращение называемое вариацией силы Р. При этом все действительные перемещения балки, в т.ч. , остались неизменными, а реактивные силы изменились на величины . При этом за счёт воображае-

мого изменения силы изменилась потенциальная энергия балки на величину

(7.7)

Так как

(7.8)

то, приравнивая (7.7) и (7.8), получаем формулу Кастилиано:

Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной формы под дейст-

вием произвольной системы внешних сил P_i (рис. 7.5,б), кото-

рые на перемещениях в их направлениях произведут действительную работу:

Она полностью переходит в потенциальную энергию тела , создава-

емую внутренними силами, зависящими от внешних сил Р_i. Поэтому в дан-

ном случае мы можем считать, что потенциальная энергия тела зависит от внешних сил:

Предположим, что произошло возможное изменение внешних сил . То-

гда изменится и внутренняя энергия тела:

(7.9)

При обратном приложении сил Р_i их вариации на действительных перемещениях совершают элементарную дополнительную работу:

(7.10)

45

Она перейдёт в возможное изменение внутренней потенциальной энергии (7.10), т.е.

(7.11)

Заменяя в (7.11) его выражением (7.9), находим:

откуда в силу произвольности вариаций получаем формулу Кастилиано:

(7.12)

которая выражает собой теорему Кастилиано для линейных упругих сис-

тем: частная производная от потенциальной энергии деформации по обоб-

щённой силе Р_i равна обобщённому перемещению в направлении дейс-

твия силы.

Если принять для потенциальной энергии выражение в виде квадратичной формы:

то, согласно (7.12), получим обобщённый закон Гука для перемещений и сил:

(7.13)

или в развёрнутой форме:

где коэффициенты носят название коэффициентов упругого влияния или податливости. Они не являются упругими постоянными материала данного тела, т.к. зависят от размеров тела.

46

На основании (7.13) выражение потенциальной энергии может быть записано в виде (7.6). Покажем, что коэффициенты в (7.13) обладают сим-

метрией, т.е. По теореме Лагранжа (7.3)

Из условия независимости второй смешанной производной от функции по-

тенциальной энергии получаем

Приведём пример применения теоремы Кастилиано. Потенциальная энергия упругой однопролётной балки длиной с шарнирным закрепле-

нием краёв и сосредоточенной поперечной силой посередине пролёта рав-

на:

По формуле (7.12) находим:

Формула (7.12) Кастилиано пригодна только для упругих линейных систем. Рассмотрим теперь нелинейное упругое тело. Пусть потенциальная энергия деформации выражена через перемещения Образуем функ-

цию

называемую дополнительной работой или потенциальной энергией сил. Проварьируем её:

Так как по теореме Лагранжа (7.3) то получаем:

(7.14)

Предположим, что функция Ф выражена только через внешние силы:

тогда

47

Заменяя левую часть (7.14) полученным выражением, находим:

откуда в силу произвольности получаем:

(7.15)

Эта формула (7.15) выражает собой теорему Кастилиано для нелинейно упругого тела: частная производная от дополнительной работы по силе равна перемещению в направлении этой силы.

Термин «дополнительная работа» легко понять из рис. 7.6, на котором заштрихованная область изображает работу внутренних сил, т.е. потенциа-

льную энергию деформации.

а) б)

Рис. 7.6

Дополнительная работа Ф представляет собой площадь, дополняющую U до прямоугольника. Иногда её называют работой или энергией сил.