7

Глава 6.

Перемещения при изгибе балок

6.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси упру­гой балки

При расчете балок на изгиб инженер интересуется не только напряже­ниями, возникающими от действия внешних сил, но и перемещениями от действия тех же сил. Одно из требований к элементам конструкций, чтобы перемещение не превосходило некоторого допусти­мого значения, обусло-

вленного требованиями эксплуатации. Это условие называется условием жесткости либо конструктивной прочности.

Рассмотрим плоский чистый изгиб балки (рис. 6.1, а).

а) б)

Рис. 6.1

В результате действия изгибающего момента ось балки ОС изгибается и занимает некоторое положение ОС'. Произвольная точка А оси балки, характе­ризуемая координатой z, перемещается в новое положение А'. Перемещение, изображаемое направленным отрезком , назовем про-

гибом балки для точки А с координатой z и обозначим v. Проведем в точке А' касательную к изогнутой оси балки. Она образует с осью z угол .

Из рис. 6.1, б видно, что этот угол в силу взаимной перпендикулярности сто­рон в точности равен углу поворота поперечного сечения. При измене-

нии z, т.е. при переходе к другим точкам оси балки, прогиб v и угол пово-­

8

рота поперечного сечения изменяется. Следовательно, они являются функциями z:

(6.1)

Горизонтальное перемещение w произвольной точки D поперечного се­чения на расстоянии от оси балки равно:

(6.2)

Из треугольника А'В'В" следует, что первая производная от функ-

ции прогиба v(z):

(6.3)

равна тангенсу угла наклона касательной к изогнутой оси балки в точке А с координатой z. Из этого же треугольника получаем

(6.4)

Из рис. 6.1, б находим где - радиус кривизны дуги

А'В' = ds. Следовательно, кривизна изогнутой оси в точке А равна:

(6.5)

Дифференцируя (6.3) по z и учитывая (6.1), (6.4), (6.5), получаем:

откуда

(6.6)

В п. 5.2 была получена формула (5.6) для кривизны балки

для положительных значений М_х. В нашем примере на рис. 6.1 изгибаю-

щий момент Поэтому формулу (5.6) мы должны использо-

вать в виде:

(6.7)

9

Приравнивая (6.6), (6.7), получаем точное дифференциальное уравне-

ние изогнутой оси балки:

(6.8)

Если прогибы v балки малы по сравнению с ее линейными размерами, то и углы поворота сечений - малые величины и, согласно (6.3)-(6.6), можно считать:

Тогда дифференциальное уравнение (6.8) упрощается и принимает вид

(6.9)

Уравнение (6.9) носит название приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси упругой балки. Оно получено для случая чи­стого изгиба, но может быть использовано и при поперечном, когда мо­мент является функцией z.

Интегрируя (6.9), получаем:

(6.10)

Произвольные постоянные C₁, С₂ в (6.10) имеют простой геометриче-

ский смысл. Обозначим через прогиб и угол поворота cече-

ния соответственно в начале координат при z = 0. Тогда при z = 0 из (6.10) получаем:

Величины называют начальными параметрами задачи по опреде-

лению перемещений в балках.

10

Соотношения (6.10) запишем в виде

(6.11)

Так как

то решение (6.11) можно записать в виде:

В соответствии с дифференциальными зависимостями Журавского

(6.12)

Дифференцируя (6.9) дважды по z и используя зависимости (6.12), находим

(6.13)

. (6.14)

При постоянной жесткости получаем

(6.15)

(6.16)

Уравнения (6.14), (6.16) представляют собой вторую форму дифферен­циальных уравнений изогнутой оси балки четвертого порядка.

11

Общее решение неоднородного уравнения (6.16) имеет вид

(6.17)

где - его частное решение. Постоянные находятся из ус-

ловий на опорах балки. Эти условия называют граничными или краевыми.

Рассмотрим типичные условия закрепления или опирания балок

(рис. 6.2). Изогнутая ось балки изображена тонкой линией.

а) б) в)

Рис. 6.2

а) Край балки жестко защемлен (рис. 6.2,а). При z = 0 на защемленном крае прогиб и угол поворота сечения равны нулю, т.е.

б) Край балки свободен от закрепления и нагрузки (рис. 6.2,а). В этом случае при равны нулю: момент и перерезывающая сила:

в) Край балки шарнирно закреплен либо свободно опёрт (рис. 6.2,б). При z = 0 край балки шарнирно закреплен. Здесь прогиб и момент М_х равны нулю, т.е.

При балка свободно лежит на опоре. Прогиб равен нулю, но из-

гибающий момент в сечении балки отличен от нуля. Поэтому здесь только одно граничное условие .

г) Незакрепленный край балки с действующими сосредоточенными си-

лой и моментом (рис. 6.2,в).

12

В этом случае при имеем статические граничные условия: