6.2. Примеры прямого интегрирования дифференциального
уравнения изогнутой оси балки
Пример 6.1. Однопролетная шарнирно опертая балка находится под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 6.3).
а)
б)
Рис.6.3
Опорные реакции
в этой задаче
Перерезывающая
сила и изгибающий момент, согласно
методу сечений, равны:
(1)
Строим для
наглядности эпюры
по
правилам, изложенным в главах 1 и 5
(рис. 6.3,а).
13
Подставляя найденное
выражение для
в дифференциальные уравнения изогнутой
оси балки (6.10), получим:
(2)
Интегрируя (2) дважды, находим:
(3)
На краях балки при
имеем
.
Поэтому из (3) следует:
(4)
Подставляя
полученные значения
в (3), находим:
(5)
Максимальный
прогиб имеет место в середине пролета
при
и равен:
(6)
Прогиб
положителен, т.е. направлен вниз по оси
у. Угол поворота
.
Геометрический смысл первой производной
состоит в том, что она равна тангенсу
угла наклона касательной в точке
изогнутой оси с координатой z. На рис.
6.3,б показано, в каких четвертях тангенс
положителен и отрицателен, а также
изображены фрагменты касательных к
изогнутой оси, отвечающие положительным
и отрицательным углам поворота сечений
Перевернутая эпюра на рис. 6.3,а построена на растянутых волокнах балки. Она напоминает изогнутую ось балки.
Пример 6.2. Консольная балка изгибается силой Р на конце (рис. 6.4).
а) б) в)
Рис. 6.4
14
Из рис. 6.4, а находим методом сечений:
(1)
Дифференциальное уравнение изгиба
(2)
Интегрируя, находим:
(3)
При z = 0 имеем граничные условия:
(4)
Следовательно,
(5)
Максимальный
прогиб и угол поворота имеют место на
конце консоли
при z =
,
т.е.
(6)
Пример 6.3. Консольная балка изгибается распределенной нагрузкой (рис. 6.4,б).
Из рис. 6.4,б методом сечений находим:
(1)
Дифференциальное уравнение изгиба:
(2)
Интегрируя, получаем:
(3)
В защемлении балки
при z=0 имеем
Максимальные угол поворо-
та и прогиб имеют место на конце консоли при т.е.
(4)
Пример 6.4.
Консольная балка изгибается моментом
на конце (рис. 6.4,в). В этом случае
15
Дифференциальное уравнение изгиба:
(1)
Интегрируя, получаем:
(2)
Так как при
то
получаем
Следовательно,
(3)
Пример 6.5. Изгиб однопролетной балки моментом в опоре (рис. 6.5, а).
а) б)
Рис. 6.5
Перерезывающая сила и изгибающий момент в произвольном сечении z равны:
(1)
Дифференциальное уравнение изгиба:
(2)
откуда после интегрирования получаем:
(3)
Из граничных условий v = 0 при z = 0 и z = получаем:
(4)
Следовательно,
(5)
16
Угол поворота на правой опоре:
(6)
Пример 6.6.
Чистый изгиб однопролетной балки
моментами m
(рис. 6.5, б). В этом случае
Дифференциальное уравнение изгиба:
(1)
откуда после интегрирования:
(2)
Из граничных
условий
при
и
находим
Следовательно,
(3)
Максимальный прогиб в середине пролета:
(4)