6.3. Пределы применимости приближенной теории из­гиба балок

При выводе дифференциального уравнения изогнутой оси балки (6.10) выражение для кривизны балки было выбрано приближенно. Вы-

ясним степень точности приближенного уравнения (6.9). Для этого рас-

смотрим задачу о чистом изгибе консольной балки (рис. 6.6).

Рис. 6.6

В этом случае и поэтому Из рис. 6.6 прогиб на конце консоли:

17

Разложим косинус в ряд и ограничимся тремя первыми элементами:

Выражение для прогиба f принимает вид:

или с учетом и (6.7):

(6.18)

Дадим теперь приближенное решение задачи. Интегрируя уравнение

при получаем:

Так как при прогиб , угол поворота , то

При на конце консоли прогиб:

(6.19)

Сравнивая решения (6.18), (6.19), находим:

Удовлетворимся при определении прогибов по приближенной теории точ­ностью в 3%. Полагая

получаем:

Таким образом, приближенное дифференциальное уравнение (6.9) изо­-

18

гнутой оси упругой балки дает достаточную точность решения задачи даже в том случае, когда прогиб составляет 30% от длины стержня. Та­кие прогибы возможны только у очень гибких балок большой длины или очень малой толщины типа гибкой стальной линейки.

6.4. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси

балки методом начальных пара­метров А. Н. Крылова

Рассмотрим балку, нагруженную силами и моментами

(рис. 6.7). Силы Р, q считаем положительными, если они направлены в положительном направлении координатной оси у, т.е. вниз. Момент считаем положительным, если он вращает сечение балки против часовой стрелки, когда мы смотрим на него с конца положительной оси х, орто-

гональной к плоскости yz. В этом случае прогибы любой точки оси стержня с координатой z направлены вниз по оси у.

Рис. 6.7

Балку по длине можно разбить на несколько участков, на которых аналитические выражения изгибающих моментов будут различны.

Границей этих участков являются те сечения, над которыми к балке приложены сосредоточенные силы Р, момент m либо меняется характер нагружения так, как в сечении с которого начинается действие

распределенной нагрузки .

Интегрируем дважды дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (6.9):

19

В результате получаем:

(6.20)

где - прогиб и угол поворота сечения в начале координат при z = 0, называемые начальными параметрами задачи по определению перемеще-

ний. Вычислим в (6.20) интеграл:

при одновременном действии считая жесткость при изгибе постоянной величиной. Для этого найдем аналитические выражения моме-

нта для двух сечений от каждого внешнего силового воздействия. Пусть первое сечение z лежит левее рассматриваемой внешней силы или момента, а второе - правее. Тогда получаем (см. рис. 6.7):

Полагая последовательно при почленном интегрировании dz =

= d(z – a) = d(z – b) = d(z – c), получаем:

Интегрируя полученное выражение еще раз, найдем:

20

Подставляя полученные выражения интегралов в (6.20), получим фор­мулы:

(6.21)

(6.22)

называемые универсальными для угла поворота сечения и прогиба точки оси балки.

Если распределенная нагрузка не является постоянной, то ее мо-

жно разложить в ряд Тейлора в окрестности значения :

где - факториал числа n.

В этом случае после интегрирования (6.20) получаем:

(6.23)

При наличии в балке внутреннего шарнира К в сечении пер-

вая производная от прогиба v по z претерпевает в этом случае скачок на ве-

личину (рис. 6.8) так, что:

(6.24)

Рис. 6.8

21

Интегрируя, получаем: (6.25

Обобщенные силы m, Р, q в (6.23), (6.25) повторяются столько раз, сколько они рассматриваются в рассматриваемой задаче. Если распреде­ленная нагрузка не доходит до рассматриваемого сечения с координатой z, то ее следует продолжить до этого сечения и добавить точно такую же, но противоположного знака (см. рис. 6.7).