6.5. Примеры решения задач по определению пере­мещений

методом начальных параметров

Пример 6.7. Однопролетная балка находится под действием сосредоточенной силы Р (рис. 6.9, а).

а) б)

Рис. 6.9

Тогда опор­ные реакции . Балка имеет два участка с различными выра-

жениями для изгибающих моментов:

(1)

22

В этом случае дифференциальные уравнения изгиба на каждом из участков име­ют различный вид:

(2)

Интегрирование этих уравнений приведет к выражениям для прогибов v₁, v₂, кото-

рые будут содержать четыре постоянные интегрирования. Для их определения нужно составить четыре граничных условия. Это вызовет определенные трудности при реше-

нии данной задачи. Метод начальных параметров существенно упрощает решение зада-

чи по определению прогибов балки.

Составим выражения прогибов для каждого из участков, пользуясь формулой (6.37):

(3)

(4)

Начальные параметры определяем из граничных условий:

(5)

Подставляя в (3) и в (4), согласно (5), находим:

(6)

откуда получаем:

(7)

Подставляя значения в (3), (4), получим выражения прогибов на каждом из двух участков. Максимальный прогиб находим из (3) либо (4) при . В резу-

льтате вычислений находим:

(8)

Угол поворота на втором участке:

На правой опоре В при z = получаем:

Пример 6.8. Однопролетная балка находится под действием сосредоточенного мо-

мента в опоре (рис. 6.9, б). В данном примере опорные реакции Прогибы балки в произвольном сечении:

(1)

23

или, с учетом ,

(2)

Угол поворота находим дифференцированием (2):

(3)

При z = 0 на левой опоре А имеем v = 0, что позволяет найти На правой опоре В при z = прогиб v = 0, т.е.

откуда

(4)

На опоре В при z = угол поворота, согласно (3), равен:

(5)

Пример 6.9. Однопролётная балка с консолью находится под действием распреде-

лённой нагрузки q (рис. 6.10).

Рис. 6.10

Определим прогибы в середине пролета балки и на конце ее консольной части. Соста-

вим уравнения равновесия:

24

откуда

Для статической проверки правильности найденных значений реакции составля­ем третье уравнение - сумму проекций на вертикальную ось у:

или

Следовательно, реакции найдены верно.

На опорах балки при z = 0, z = 2а имеем v = 0. Используя (6.21), находим:

откуда следует:

Искомые перемещения:

Если принять а = 2 м, то получим

При вычислении прогиба на конце консольной части распределенная нагруз-

ка не доходит до рассматриваемого сечения, что является обязательным при примене-

нии универсального уравнения. Чтобы выйти из положения, распределен­ную нагрузку продолжаем до рассматриваемого сечения и добавляем такую же, но противоположно-

го направления (рис. 6.10). Добавление такой же нагрузки в резуль­тате дает нагрузку, статически эквивалентную нулю, что не вызовет изменений в деформированном сос-

тоянии балки.

Построим изогнутую ось балки. Для этого отложим на рис. 6.10 значения найде-

нных прогибов с учетом их знаков. Кроме того, необходимо вспомнить, что вы­пуклость эпюры моментов от распределенной нагрузки совпадает с выпуклостью кривой изогну-

той оси. В точке, где имеет место смена кривизны изогнутой оси балки. Сече-

ние, в котором найдем из условия

откуда Эпюра прогибов изображена на рис. 6.1.

25