6.6. Простейшие статически неопределимые задачи при изгибе.

Метод сравнения (наложения) пере­мещений

Рассмотрим простейшую один раз статически неопределимую балку

(рис. 6.11).

Рис. 6.11.

Прогиб балки над опорой С равен нулю и его можно, в силу принципа независимости действия сил, представить как сумму перемещений от рас­пределенной нагрузки и сосредоточенной силы R_C:

Используя известные решения п. 6.5, имеем:

Следовательно,

откуда

Из уравнений равновесия:

находим опорные реакции

26

В поперечном сечении z

Рис. 6.12.

Экстремальный момент возникает в сечении с координатой z₀, которая находится из условия:

откуда Максимальный момент

Он меньше, чем момент над средним сечением при :

На рис. 6.12 построены эпюры . Эпюра моментов была исполь-

зована нами во вводной лекции.

27

6.7. Расчет на прочность простейших статически неопределимых

балок методом допускаемых нагрузок

Рассмотрим простейшую статически неопределимую балку

(рис. 6.13,а).

Рис. 6.13

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям состоит в том, чтобы найти и потребовать . Для этого сначала необходимо раск-

рыть статическую неопределимость задачи. На рис. 6.13, б изображена эквивалентная балка, в которой момент m должен быть подобран так, что-

бы угол поворота в опоре А обращался в нуль как и в исходной схеме бал-

ки (рис. 6.13, а).

Вычислим угол поворота в опоре А, используя решения п. 6.5:

откуда находим:

Максимальный момент возникает в защемлении (рис. 6.13, в):

Таким образом, условие прочности по допускаемым напряжениям (или расчетному сопротивлению) дает:

откуда

28

Предельная нагрузка упругого состояния, при которой впервые в бал­ке возникает пластическая деформация, равна:

Первый пластический шарнир образуется в защемлении. В этом плас-

тическом шарнире . Однако балка будет испытывать стеснён- ную пластическую деформацию, пока в середине пролета под силой Р момент также не будет равным и балка превратится в механизм

(рис. 6.13, г). Для предельного состояния имеем уравнения равновесия:

откуда следует

Допускаемое значение внешней нагрузки:

Сравнивая и либо и получим, что их отношение:

Статическая неопределимость задачи повышает допустимую нагруз­ку на 12,5%. Для балки прямоугольного сечения . В случае прямо-

угольника Для данной задачи обнаружива­ется резерв прочности в 69% по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям.

В рассматриваемом примере пластические шарниры образуются в за- щемлении и в сечении под сосредоточенной силой. В случае распределен­ной нагрузки указать сразу сечения, где возникнут пластические шар­ниры, не всегда удается. Рассмотрим простейшую двухпролетную стати­чески не- определимую балку (рис. 6.14). В п. 6.6 эта задача была реше­на для случая упругого поведения балки и построена эпюра моментов (рис. 6.12).

Рис. 6.14

29

Момент M_t в среднем сечении, при котором в крайних во­локнах возни-

кают пластические деформации:

откуда соответствующая предельная нагрузка равна:

Рассмотрим предельное состояние балки. Первый пластический шар-

нир образуется над средней опорой. Два других - в сечениях, строго гово-

ря, не совпадающих с сечениями, где действуют максимальные моменты. Обозначим расстояние от левой опоры до первого шарнира в пролете через . Тогда уравнение равновесия балки левее первого и второго шарни-

ров будет иметь вид:

откуда после исключения R_A следует:

Разрушающая предельная нагрузка оказывается зависящей от величии-

ны т.е. местоположения пластического шарнира в пролете. Дифферен-

цируя данное выражение для q по и приравнивая производную нулю, получим:

откуда

Так как то перед радикалом следует сохранить знак плюс. То-

гда В результате получим:

Сравнивая выражения для и , находим:

Следовательно, в данной задаче статическая неопределимость повышает допустимую нагрузку на 45,7%. Если балка имеет прямоугольное сечение,

30

то . Поэтому в данной задаче полное увеличение допускаемой нагрузки составляет т.е. 118,6%. Если заменить в каж-

дом из пролетов распределенную нагрузку q их равнодействующими приложенными в их середине, т.е. при , то получим:

Величина

что отличается от точного решения всего на 2,94%. Для прямоугольного

сечения получаем k = 2,25 вместо 2,186.