37

Глава 7

Общие принципы и методы сопротивления

материалов

7.1. Обобщённые силы и перемещения

В механике мы различаем два самостоятельных силовых фактора - со-

средоточенные силы Р, пару сил с моментом (рис. 7.1,а). Иногда при-

ходится иметь дело с группой сил и моментов. Назовём обобщённой силой Р группу сил или моментов, характеризуемых одним параметром или числом. На рис. 7.1,б,в,г обобщёнными силами будут две силы Р, два момента , распределённая нагрузка .

а) б)

в) г)

Рис. 7.1

38

Производимая ими работа соответственно равна:

где а величина представляет собой площадь между исходной и изогнутой осями балки.

Обобщённым перемещением назовём множитель, стоящий в выраже-

нии работы при обобщённой силе. Обобщёнными силами могут быть не только внешние, но и внутренние:

Рассмотрим например статически неопределимую балку

(рис. 7.2).

Рис. 7.2

Рассечём её на расстоянии z от левого конца и приложим к краям раз-

реза по две нормальные силы , две перерезывающие , два изгибаю-

щих момента , каждая из которых образует группу сил, характеризуе-

мых одним числом, т.е. обобщённую силу.

39

Возьмём две нормальные силы N. Они совершат работу:

Обобщённое перемещение представляет собой относительное расхождение краёв разреза. Аналогично можно рассмотреть две силы и два момента .

7.2. Потенциальная энергия деформации стержня

в общем случае его нагружения

Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изги-

бе была рассмотрена нами в главах 2, 3, 5. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.

В общем случае сопротивления бруса деформированию при нагружении в его поперечных сечениях возникают шесть внутренних си-

ловых факторов: .

Для бруса длиной из линейно-упругого материала потенциальная энергия определяется формулой

, (7.1)

где коэффициенты зависят от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения , для круглого - для тонкостенной трубки

Если стержневая система состоит из нескольких элементов, то необхо-

димо произвести суммирование энергий по числу этих элементов. Энергия растяжения и сдвига, как правило, меньше энергий изгиба и кручения. Вместе с тем возможны случаи (например, внецентренное сжатие), когда энергия растяжения и изгиба одного порядка. Энергия от сдвига в (7.1), сопровождаемая возникновением перерезывающих сил, может быть определена следующим образом: удельная потенциальная энергия чистого сдвига Следовательно,

Используя формулу (5.37) Журавского для касательного напряжения, найдём:

40

где обозначено