7.5. Формула Мора для перемещений в стержнях

и стержневых системах ¹⁾

Рассмотрим раму (рис. 7.7,а), нагруженную системой внешних сил Пусть требуется определить перемещение точки А в направлении АВ. Воспользуемся принципом Кастилиано. Внешняя сила в точке А в направлении АВ может быть, а может и не быть. Приложим в то-

чке А в направлении АВ статически возможную силу (рис. 7.7,а).

¹⁾ О.Х. Мор (1835-1918)-немецкий механик и инженер

а) б)

Рис. 7.7

Тогда, согласно (7.11), имеем:

(7.16)

Рассечём раму в стойке на расстоянии z. В поперечном сечении возни-

кают внутренние силовые факторы (рис.7.7,а). От изменения (вариации) силы в точке А в поперечном сечении рамы внутренние сило-

вые факторы изменятся на бесконечно малые величины Эти изменения внутренних сил и моментов будут пропорциональны , т.е.

(7.17)

Из (7.17) следует, что при коэффициенты , ,

являются нормальной силой, изгибающим моментом, крутящим моментом, перерезывающими силами в сечении рамы с коорди-

натой , которые вызваны действием единичной силы в точке А в направлении АВ искомого перемещения (рис. 7.8).

а) б)

Рис. 7.8

Так как оператор вариации имеет смысл дифференциала, то варьи-

руя (7.1), получим:

Учитывая (7.7), подставляя в (7.5) и сокращая на , находим формулу

(7.18)

называемую формулой Мора. Она служит для определения любых обобщённых перемещений в стержневых системах.

Формулу Мора можно получить, пользуясь принципом возможных перемещений. Рассмотрим схему нагружения (см.рис. 7.8,а), когда в точке А в направлении искомого перемещения приложена единичная сила вызывающая в поперечном сечении системы внутренние силовые факторы (рис. 7.8,б). Согласно принципу возможных перемеще-