7.3. Принцип возможных перемещений и

формула Лагранжа ¹⁾

Рассмотрим балку (рис. 7.3,а), находящуюся под действием силы Р. Пусть некоторая точка А оси балки совершила конечное действительное перемещение , которое зависит от значения силы , т.е. Изменим внешнюю силу на бесконечно малую величину .

а) б)

Рис. 7.3

Тогда действительное перемещение получит бесконечно малое пе-

ремещение Рассмотрим теперь множество перемещений точки А, ко-

торые могли бы быть сообщены точке А в соответствии с наложенными на балку внешними связями, но не совершаются фактически вследствие неиз-

менности внешней силы Р. Назовём возможным перемещением любое бес-

конечно малое воображаемое перемещение, которое может быть сообщено точке А тела в данный момент в соответствии с наложенными на него свя-

зями. В отличие от действительного бесконечно малого перемещения возможное будем обозначать , где символ носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для дифференциала Отметим, что это правило в данном случае не относится к нагрузке

¹⁾ Ж.Лагранж (1736-1813)-великий французский математик и механик.

41

Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной геометрической формы (рис. 7.3,б). На него действует система обобщённых внешних сил Тогда точка А приложения одной из сил совершит дей-

ствительное перемещение, проекцию которого на направление этой силы обозначим . Потенциальная энергия может быть выражена либо че-

рез силы , либо через перемещения

Сообщим точкам приложения сил возможные перемещения Элементарная работа внешних сил Считая, что U представ-

лена через обобщённые перемещения, найдём элементарную работу внут-

ренних сил:

Приравнивая элементарную работу внешних и внутренних сил, полу-

чим условие:

(7.2)

выражающее принцип возможных перемещений Лагранжа. Вследствие произвольности вариаций в (7.2) находим формулу:

выражающую собой теорему Лагранжа: частная производная энергии де-

формации по перемещению равна силе.

Для линейно упругого тела зависимость между силами и перемеще-

ниями является линейной. Наиболее простым выражением для потенциа-

льной энергии является квадратичная формула

(7.4)

где C_ij - постоянные коэффициенты упругой жёсткости тела.

На основании (7.3) и (7.4) получаем систему уравнений обобщённого закона Гука:

(7.5)

которые связывают силы с перемещениями.

42

В развёрнутом виде закон (7.5) имеет вид

где коэффициенты зависят от размеров тела. Поэтому они не являются упругими постоянными материала.

На основании (7.5) выражение (7.4) для потенциальной энергии можно записать в виде

(7.6)

Коэффициенты в (7.5) симметричны. По теореме Лагранжа (7.3)

Из условия независимости смешанной второй производной от потен-

циальной энергии получаем

Приведём пример применения теоремы Лагранжа к нелинейной упругой системе.

Потенциальная энергия двух растягиваемых стержней (рис. 7.4):

Рис. 7.4

В силу закона Гука

43

Из рис. 7.4 следует перемещение Так как то

Следовательно, потенциальная энергия:

может быть выражена через перемещение . Поскольку условия для испо-

льзования формулы Лагранжа соблюдены, получаем:

что совпадает с формулой (2.87), полученной ранее иным путём (см. кн.1).