6.8. Изгиб балок переменного поперечного сечения

На практике часто приходится иметь дело со стержнями переменного поперечного сечения, у которых площадь F(z) и момент инерции яв-

ляются функциями z. В этом случае общий интеграл дифференциаль­ного

уравнения изогнутой оси балки имеет вид:

(6.26)

Обозначим символом момент инерции какого-либо сечения, напри­мер при z = 0. Введем обозначение:

Тогда (6.23) можно представить в виде

где

- приведённый момент.

Исходная балка переменной жесткости приводится к балке постоянной с некоторым моментом .

Рассмотрим в качестве примера балку ступенчато-переменного сече­ния с двумя участками разной жесткости EJ₁ и EJ₂ и (рис. 6.15).

31

а) б)

Рис. 6.15

Пусть длины участков . Тогда , .

Для исходной балки . Для приведенной к единой жесткости балки имеем:

где .

Как видно, на границе участков при внутренние силовые

факторы приведенной балки претерпевают скачки на величины:

Это возможно для приведенной балки только в том случае, если на стыке участков при будут приложены внешние сосредоточе-

нные сила и момент равные:

Дальнейшее решение задачи по определению прогибов в балке состо­ит в применении метода начальных параметров к балке с приведенной жест-

32

костью . Прогиб балки на конце консоли второго участка будет равен:

Так как при то после замены R = Р,

получаем:

6.9. Балка равного сопротивления

Пусть балка имеет прямоугольное переменное сечение, для которого вы­сота сечения h - постоянная величина, а ширина изменяется по линейно-

му закону:

Рис. 6.16

Момент инерции поперечного сечения:

Для рассматриваемой балки изгибающий момент в поперечном сечении z равен:

Согласно (6.23) прогиб балки:

33

или с учетом :

Определим теперь максимальные напряжения по формуле:

Полагая и используя выражения для и найдем:

где - момент сопротивления сечения в защемлении на левом конце балки при z = 0.

Таким образом, во всех сечениях балки рассматриваемого поперечно­го сечения максимальные поперечные сечения максимальные напряже­ния по-

лучились одинаковыми. Такая балка носит название балки равного сопро-

тивления изгибу. Изогнутая ось балки представляет собой квадра­тичную параболу.