6.10. Балка на упругом основании

Если балка лежит на упругом основании, то последнее оказывает на балку реактивное давление (гипотеза Винклера), где k - коэффи­циент упругости основания (коэффициент постели). Добавляя в правую ча-

сть уравнения нагрузку , получим дифференциальное урав­нение изогнутой оси балки на упругом основании:

(6.27)

Введем обозначение:

Тогда уравнение (6.27) принимает вид:

(6.28)

Его общим решением будет:

(6.29)

34

где - частное решение неоднородного уравнения (6.27).

Так как:

то общее решение (6.27) можно записать в ином виде:

Академик А. Н. Крылов ввел функции:

обладающие свойством:

Они образуют систему частных решений уравнения (6.63) с единичной матрицей, представляемой в виде табл. 6.1.

Общее решение уравнения (6.27) можно записать через функции Кры­лова в виде

где

Таблица 6.1.

35

Рассмотрим балку полубесконечной протяженности (рис. 6.17).

Рис. 6.17.

На краю балки при действуют сосредоточенные сила Р и момент m. Следовательно, на край балки при z = 0 имеем перерезывающую силу и изгибающий момент . Если балка весьма длинная, то при больших z (теоретически ) прогибы должны быть весьма малы-

ми (теоретически ). Поэтому, согласно (6.29), . Так как распределенная нагрузка q = 0, то частное решение .

Следовательно, общее решение рассматриваемой частной задачи имеет вид:

(6.30)

Вычислим производные:

Зная их, можно вычислить изгибающий момент и перерезывающую силу:

(6.31)

Постоянные определяем из граничных условий при :

откуда с учетом (6.30), (6.31) получаем:

Для прогиба (6.30) получаем выражение:

(6.32)

36

Максимальный прогиб находим из (6.31) при z = 0:

Пусть на краю балки при z = 0 момент а перерезывающая сила тогда:

Как видно, прогиб v, момент М_х, сила Q_y по мере удаления от края ба-

лки z = 0 периодически уменьшаются по экспоненциальному закону. Эта особенность быстрого затухания v, M_x, Q_y по мере удаления от края балки называется краевым эффектом (см. рис. 6.17).