Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

(для области 3) расстояниях. Таким образом, напряженное состояние в области 2 является асимптотическим как со стороны области i, так

исо стороны области 3.

Вдействительности, в конце разреза воз­ никает пластическая зона разных форм и разме­ ров в зависимости от свойств материала и усло­ вий Harp>^eHH^. Если эта зона мала, то сохраня­ ется деление тела на три области, причем тре­ тьей, самой маленькой областью, будет пласти­ ческая. С ростом нагрузки (если трещина не распространяется или распространяется, но мед­ ленно) пластическая зона растет, и ее размеры могут стать настолько большими, что вторая область (с асимптотическим решением, характе­ ризуемым коэффихщентом интенсивности на­ пряжений К) исчезнет. В таком случае законо­ мерности поведения тела с трещиной зависят от степени развития пластических деформаций у конца трещины, внутри пластической зоны.

Из предыдущего ясна большая роль коэф­ фициента интенсивности напряжений в механи­ ке развития трещин. Из асимптотических фор­ мул (3.3.5)-(3.3.12) следует, что напряжения, перемещения и деформации зависят от геомет­ рии и' размеров тела, длины трещины и схемы приложения внешних нагрузок и их величины только через коэффициент интенсивности на­ пряжений. Значения (интенсивность) напряже­ ний у вершины трещины прямо пропорцио­ нальны коэффициенту К в асимптотических формулах, и вместо расчета самих напряжений часто бывает достаточно оперировать только этим коэффициентом. Можно предвидеть, что критерии разрушения могут включать в свою формулировку коэффициенты интенсивности напряжений, и поэтому методы отыскания этого коэффициента занимают видное место в механи­ ке развития магистральных трещин.

Основное определение коэффициента ин­ тенсивности напряжений Kj представлено фор­ мулой (3.3.8) для трещины типа I. Для трещин остальных типов подобные формулы для Хц и Аш имеют аналогичный вид.

Далее изложим несколько приближенных методов расчета коэффициента К.

Расчет коэффициевта интенсивности напря­ жений по коэффициенту концентрации напряже­ ний. Между указанными в названии раздела ко­ эффициентами существует принципиальная раз­ ница (вспомним, например, их размерности). Однако возможен предельный переход, устанав­ ливающий связь между этими коэффициентами. Действительно, если имеется надрез с конечным радиусом кривизны р, то сГтах~^<т^ном> и с уменьшением радиуса ajnax растет. При стрем­ лении р к нулю надрез переходит в трещиноподобный дефект, и aj^ax стремится к асимптоти­ ческому значению напряжения для трещин. Тог­ да для трещины типа Т из формулы (3.3.14) можно записать

(3.3.15) Например, при растяжении плоскости с эллиптическим вырезом по Нейберу имеем

а^ = 1 + 2^11 р, где / - большая полуось эл­ липса.

Подставляя аст в формулу (3.3.15), получа­ ем точное значение if для растянутой плоскости с одиночной трещиной:

Р->0 2

Располагая из справочной литературы гра­ фиками зависимости а^ от параметров задачи, можно получить экстраполяцией коэффициенты интенсивности напряжений.

Расчет коэффициевгга интенсивности напря­ жений методами теории упругости. Для определе­ ния коэффициентов интенсивности напряжений можно использовать любые методы решения задачи теории упругости.

Приведем без вьшода результаты аналитического расчета коэффициентов Kj и Кц для плоскости с одиночной трещиной, нагруженной, как показа­ но на рис. 3.3.17. В этом случае имеем [9]

Этот результат позволяет получить решение для любой схемы нагружения плоскости с одной трещиной, используя принцип суперпозиции.

УА

yf

-I

Рис. 3.3.17. Плоскость с сосредоточенной силой, приложенной к одному из берегов трещины

Из рис. 3.3.4 и 3.3.17 следует: Py=Gydx, jPx=T;fyûfoc, b=x. Причем эти элементарные силы приложены на оба берега трещины (поэтому множитель 2 в формулах (3.3.17) сокращается). Используя формулы (3.3.17) отдельно для сил Ру и сил Рх (согласно рис. 3.3.4), запишем (|х|</, у=0):

(3.3.18)

Отсюда можно сделать вывод, что для нагрузки, самоуравновешенной на поверхности трещины, коэффициент интенсивности напряжений не зависит от упругих постоянных материала.

Подставив эти напряжения при 0=Р в формулы (3.3.18), получим коэффициенты ин­ тенсивности напряжений I и II типов:

Рис. 3.3.18. Сжатый диск с Еи1клонной трепщной

Рассмотрим сжатие диска радиусом R и толщиной t сосредоточенными силами Р вдоль диаметра (рис. 3.3.18). Трещина длиной 2/ на­ клонена под углом Р к линии нагружения. По­ лярная система координат г, 0 имеет полюс в центре диска, и угол в отсчитываетх^я от линии нахружения. Решение задачи теории упругости для сжатого диска без трещины таково:

+(i?+rcos0; JRsine i^+r^+2Krco60.

Поправочные функции 7i(p) и >п(Р) пока­ заны на рис. 3.3.19 для трех значений I/R. Об­ ласть положительных Àj, раскрывающих трещи­ ну, расположена при 0<Р<30<^, а максимум ко­ эффициента Кл - диапазоне Р=40^45^.

yjJir

0

-1 L J ^ ° \ ^ бО"" 90° р\

Рис. 3.3.19. Графики корректирующих функций в формулах для К\ и Кц сжатого диска с трепщной

Применение аналитических методов реше­ ния в деталях сложной формы становится затруднитегшным, и на первый план выступают различные варианты прибишженного и числен­ ного решений задач теории упру1Х)сти для расче­ та коэффициента ЛГ(см., например [5, 6, 11]).

В расчетах часто записывают формулу для if в виде

К = GyfidY{l),

в которой сомножитель a v ^ / представляет со­ бой коэффициент интенсивности напряжений

растянутой плоскости с одиночной трещиной дтшной 2/, а Y(i) - так называемая ^Г-тарировка или поправочный множитель, учитывающий конкретный вид плоского тела с трещиной. Так, например, при растяжении напряжением а по­ лосы шириной 2b с центральной трещиной дли­ ной 2/ поправочный множитель (Ирвин, 1958 г.)

\ж1 2Ь

или (Федерсен, 1966 г.)

Y{1) = sec — ,

Для зон отверстий (присоединения патруб­ ков, штуцеров, труб) коэффициент г| определяют по формулам:

при //i?i>0,8

Здесь Ri - радиус отверстия; Ri - радиус кривиз­ ны концентратора в рассчитываемом сечении; аст - теоретический коэффициент концентрации

(допускается равным а^ при растяжении).

Составляющие напряжений растяжения и изгиба

^q = ^max

где a - распределение напряжений (кольцевых или осевых) в расчетном сечении стенки; ^тах~^ на растянутой поверхности стенки.

h

здесь с - полудлина трещины на поверхности стенки; h - длина зоны, в пределах которой со­ ставляющая изгибных напряжений положитель­ на.

Формула справедлива при /<0,25/ и //с<2/3 (/ - толщина стенки изделия).

При расчете зон, где отсутствует концент­ рация напряжений, 11=1.

Для зон перехода жесткостей (соединения фланцев с цилиндр№£еской частью корпуса, пе­ реходные поверхности и др.) коэффициент Г| определяют по формулам:

при 0<t/R2<5

О

можно определить из условия, что напряжение ае при г=а равно номинальному напряжению. Условие равновесия сводится к тому, что усилие, не передающееся через линию трещины, ком­ пенсируется усилием от концентрации напряже­ ний у вершины трещины.

Пример 1. Задача Гриффитса - бесконечная пластина с трещиной растягивается равномерно распределенным напряжением а в направлении, перпендикулярном к линии трещины.

Усилие, не передающееся через линию трещины, равно 2а/ (2/ - длина трещины), а возросшее напряжение у концов трещины созда-

а

ет дополнительное усилие, равное 21 o^dr. Раз­

мер а находим из условия а^(г = ûf) = а, т.е.

r|=l+(aa-l)0'7i^8/(//J?2);

при t/R2>5

^ = l+(aa-l)<^'V(//i?2)2.

При г|>ао принимают г|=аа. при //i?i<0,8

1/2. Л =[1+5(а^ - l ) e x p ( 4 ) , 8 6 / / i ? i ) f ^

Подставив сюда QQ = К и проинтег­

рировав, находим коэффициент интенсивности напряжений

Этот результат совпадает с точным (3.3.16). Пример 2. Трещина в растянутой пластинке

расположена под углом 90^-а к направлению ра­ стяжения (рис. 3.3.20). В этом случае для описа­ ния напряженного состояния около конца тре­ щины необходимы два коэффиххиента: Ki и Ац. Проводим сечение в направлении трещины. В

екций усилий на направление сечения дает урав­ нение

2 т „ , / - 2 Г т ^ ^ г = 0; т ^ = - 7 = ^

где а = K^j^ / (2пт^^).

Рис. 3.3.20. Растянзпгая плоскость с наклонной трещиной (штриховой линией показаны напряжения, возникающие на верхней грани выделенного элемента в сплошном теле; сплошными линиями - на нижнем берегу трещины)

Из первого уравнения равновесия получаем К^ =ocos aV7c/,H3 второго - ^ =aooso(sin(xV7^ Этот результат совпадает с ранее полученным для диска при I/R-^0, 90-а=Р и а=Р/(Ш).

Недостаток метода в том, что он не позво­ ляет оценить погрешности решения (при отсут­ ствии точного решения для сравнения).

Учитывая возрастающую потребность со­ временной техники в оценке прочности тел с трещинами, следует признать, что сложные ме­ тоды математической теории трещин должны быть дополнены пусть менее точными, но зато более простыми приемами вычислений, в кото­ рых пониженная точность расчета компенсиру­ ется очень малой трудоемкостью.

Устойчивые и неустойчивые состояния тела

с треошной. Тело с трещиной находится в состо­ янии механического равновесия, когда в любом элементе объема тела (как и для всего тела в целом) соблюдаются условия равновесия. Это означает, что нагрузка постоянна, нет движения элементов объема, следовательно, нет распрост­ ранения трещины (трещина неподвижна). Для того, чтобы трещина стала распространяться, необходимо либо увеличить внешнюю нагрузку, либо (при постоянной нагрузке) снизить работу разрушения материала. С медленным ростом нагрузки трещина медленно растет. Малому приращению нагрузки отвечает малое прираще­ ние длины трещины, и, следовательно, рост на­ грузки сопровождается соответствующим ростом длины трещины. Такое состояние тела с трещи­ ной называют устойчивым (иногда квазистати­ ческим или докритическим) ростом трещины (или трещину называют устойчивой). Для устой­ чивости трещины соблюдается условие dP / di > О, т.е. в предельном состоянии равно­ весия (при соблюдении критериев разрушения) нагрузка является возрастающей функцией дли­ ны трещины. Разумеется, что устойчивая трещи­ на может находиться и в движущемся теле, для которого в целом условия равновесия не соблю­ даются.

Неустойчивой называют трещину, когда в некотором объеме, окружающем трещину, нару­ шаются условия механического равновесия. При этом трещина распространяется и это распрост­ ранение может происходить при постоянной нагрузке. Для тела в целом условия равновесия при наличии неустойчивой трещины могут со­ храняться. В предельном состоянии равновесия для неустойчивой трещины соблюдается условие dP/dl<0, т.е. для остановки трещины надо ус­ петь снизить нагрузку. Однако скорость трещи­ ны в закритическом состоянии настолько вели­ ка, что при испытании образцов на испытатель­ ных машинах успеть снять нагрузку до полного разрушения образца практически не удается (поскольку машина обладает некоторой податли­ востью). Кроме того, даже при полностью уда­ ленной внешней нахрузке трещина может расти от наличия упругой энергии в самом образце, так как для того, чтобы разгрузить образец пол­ ностью во всех его точках, требуется известное время.

АР (A-hdAYP-i-clP)

Рис. 3.3.21. Диаграмма деформирования упругого образца с трещиной

Формула податливости Ирвина. Пусть при упругом нагружении плоского тела толщиной / трещина подросла на длину dl. На диаграмме деформирования "сила Р - смещение V" начало продвижения трещины соответствует точке с ко­ ординатами (Р, V), а конец (P-^dP, v-\rdv) (рис. 3.3.21). При разгрузке из этих двух точек прямые линии идут в начало координат, а площадь треу­ гольника между ними представляет собой выде­ ленную упругую энергию, равную работе, затра­ ченной на продвижение трещины. Если обозна­ чить выделенную упругую энергию на единицу площади трещины через G, то

Здесь G - приток энергии в вершину трещины; Gc - удельная (на единицу площади) работа раз­ рушения, иначе, вязкость разрушения.

При G<Gc трещина не растет, при G=Gc трещина получает* возможность распространять­ ся.

Принимая во внимание равенства (3.3.20), можно сказать, что силовой (3.3.2) и энергети­ ческий (3.3.21) критерии разрушения эквивален­ тны.

Затраты энергии на образование новой по­ верхности тела в большой мере связаны с разме­ рами и формой пластической зоны перед вер­ шиной трещины. Поскольку с изменением тол­ щины плоской детали размеры пластической зоны также изменяются, то и величина GQ ока­ зывается зависящей от толщины образца. По­ этому при экспериментальном определении Gc (или Кс) желательно указывать и толщину об­ разца. При достаточно большой толщине разме­ ры пластической зоны стабилизируются, Gc и Кс становятся постоянными и их в этом случае обо­ значают Gic и Kic и считают постоянными ма­ териала. При этом напряженное состояние вок­ руг фронта трещины близко к всестороннему растяжению при плоской деформации.

Распределение напряжений в упругопластическои зоне у вершины трепшны. Приближенную оценку пластической зоны перед вершиной тре­ щины можно получить из критерия пластичнос­ ти, подставив в него решения упругой задачи для рассматриваемого тела.

Асимптотические формулы, например, для трещины типа I (3.3.5) позволяют получить вы­ ражения для главных напряжений:

У12ЖГ 2

формация); аз=0 (плоское напряженное состояние).

Подставив эти главные напряжения в критерий пластичности Мизеса (энергетическая теория формоизменения):

найдем уравнение границы пластической зоны (рис. 3.3.22,д). Аналогичные вычисления для трещин типа П и П1 приводят к уравнениям границ пластических зон, форма которых пока­ зана на рис. 3.3.22, ^,<? (единица длины равна

Рис. 3.3.22. Форма пластических зон по 1фитерию Мизеса для тре1цины типа I (а), типа II (б) и типа III (в): 1 - плоская деформация;

2 ' плоское напряженное состояние

В результате Ш1астического течения вокруг вершины трещины возникает рост деформаций с одновременным падением напряжений. При этом, исходя из условий равновесия, размеры пластической области будут больше определен­ ных подстановкой упругого решения в известные условия пластичности. Это можно учесть соот­ ветствующим уменьшением предела текучести в виде сГэфф=А,аод при Л-<1. Следовательно, мож­ но полагать, что форма пластической зоны опре­ деляется соотношением (на базе критерия плас­ тичности Мизеса)

ще Of - интенсивность напряжений в окрестнос­ ти вершины трещины, а X есть функция коорди­ нат точек. Однако для приближенных оценок

можно считать, что X-const, причем 0,8<Х<1 в зависимости от вида диаграммы деформирова­ ния а/=ст/(е/).

Реальная форма пластической зоны зависит от многих (неучитываемых в рассматриваемой модели) факторов и поэтому только в общих чертах повторяет аналитические или численные решения. Например, на рис.3.3.23 показан ре­ зультат уточненного решения для границы плас­ тических зон трещины типа I в растягиваемой плоскости.

Рис. 3.3.23. Форма пластической зоны для трепдины типа I (показатель упрочнения /7=0,05)

Радиальное и угловое распределение на­ пряжений и деформаций, в отличие от упругого, внутри пластической зоны разное. Хорошая ап-

прсксимация напряженнош состояния а^(1). /(в

первом приближении) в пластической зоне мо­ жет бьпъ получена из выражения

(3.3.25)

в котором Gy - компоненты напряженного со­ стояния упругого приближения; Е^. - секущий

модуль диаграммы деформирования a/(s/). Основываясь на соотношении Нейбера для

коэффициентов концентрации напряжений и деформаций в пластической области, можно, зная напряжения, найти и деформации, по­ скольку их покомпонентное произведение мож­ но считать постоянным.

Например, Gу 8^ = ст^ и т.д..

соответствующей величины к пластической обла­ сти.

Поле напряжений и деформаций в пласти­ ческой области можно выразить также посред­ ством коэффициентов интенсивности напряже­ ний Ma И деформаций Л/е в пластической облас­ ти [3, 4]. Перед вершиной трещины на ее про­ должении (но не далее чем на 20% от /) можно построить эпюры интенсивности напряжений а/ и интенсивности деформаций S/ по формулам:

м„ м^ ^0,2 ^0,2 >

(3.3.26) Определения величин М^, Me, р см. с. 159.

Представим диаграмму деформирования материала через интенсивность пластической деформации s^ в виде

где Лип- постоянные материала. Тогда компо­ ненты напряжения и деформации в пластичес­ кой зоне перед вершиной трещины имеют вид

(3.3.28)

где / - инвариантный энергетический интеграл (см.с.159); In - функция показателя упрочнения п (рис. 3.3.24).

Функции/у(0) и Ф7у(6) угловой координаты 9 приведены на рис. 3.3.25 и 3.3.26.

Рис. 3.3.25. Эпюры безразмерных напряжений и деформаций в пластической зоне у вершины трепшны при растяжении при плоской деформации

К'1 1256^ = 4,34мм.

тсаод 340^ Критериальное условие

о^ж(1 + Гу) =К^

или

a^V^(9 + 2,17) =1256,

откуда разрушающее окружное напряжение

VTCII,!?

Остаточная прочность в виде разрушающего внутреннего давления

р^ = —^— = 4,15 МПа,

D

что составляет 0,625 (=212/340) от предельной прочности по пределу текучести.

Представим еще один критерий разруше­

ния.

Критерий плотности энергии деформации основан на коэффициенте плотности энергии деформации [см., например, 3]

S = а^^к1 + 2^12^1 ^ п +^22^П' (3.3.32)

где

Дц = (1+со8б)(аэ-со8 9)(1б7сц)~ ;

^12 = [2cos0-(ав-l)sin9](167c^)~ ; ' ^22 = [(* + 1)0 - COS 9) +

+ (l+cos9)(3cos9-l)](167C|a)"^;

0 - угловая координата точки у вершины трещи­ ны; ae=3-4v дня плоской деформации; ж=(3- -v)/(H-v) - для плоского напряженного состоя­ ния; V - коэффициент Пуассона; \х - модуль упругости при сдвиге.

Коэффициент S зависит от упругих свойств материала, от угла 9 через коэффициенты а^ и представляет собой объемную плотность энергии деформации, определенную в точках окружности едини'шого радиуса вокруг вершины трещины.

Критерий разрушения изотропного мате­ риала состоит из двух условий.

1. Трещина растет в том направлении (вдоль радиуса из вершины), в котором величи­ на S принимает стационарное значение, т.е.

2. трещина начинает распространяться в направлении, определяемом п.1, когда величина S достигает критического значения, т.е.

В частности, при разрушении плоского об­ разца с трещиной путем отрыва имеем 9о=0, Âii=0, Ki=Kic и величина S^ оказывается свя­ занной с вязкостью разрушения Kif. соотноше­ нием

Sc = 8Ц7С

Критерий начала распространения трещи­ ны в форме (3.3.2) записан для трещины типа I. Аналогичная запись будет и для трещин типов II и III. В случае, когда имеет место сложное нагружение, при котором одновременно ^рЮ, KiY^ и АнртЮ, можно постулировать, что кри­ терий разрушения имеет форму

O ( ^ j , ^ I I , ^ I I l ) = 0. (3.3.35)

Это есть уравнение предельной поверхности, ограничивающей в пространстве коэффициентов Kl, Кц, Кщ область, возможно замкнутую, внутри которой изображающая точка соответ­ ствует нераспространяющейся трещине. На ко­ ординатных осях поверхность Ф=0 отсекает постоянные материала iTic, ^Гпо ^Шс- Точка на поверхности (3.3.35) означает наступление пре­ дельного состояния равновесия, и трещина по­ лучает возможность расти. Для практического применения конкретный вид уравнения (3.3.35) должен быть получен специально. В качестве некоторого приближения можно воспользоваться условием, что область допустимых состояний имеет прямоугольную форму и ограничена плос­ костями

3.3.2. КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗОН У ТРЕЩИН

При относительно высоких уровнях при­ ложенных нагрузок и достаточной пластичности материалов в сечении с трещиной возникают большие пластические зоны, соизмеримые с остаточным (нетто) сечением детали. В этих слу­ чаях модели линейной механики разрушения неприменимы из-за отсутствия области с асимп­ тотическим распределением напряжений по формулам (3.3.9)-(3.3.12).

Необходимые для расчета параметры зада­ чи и критериальные условия нелинейной меха­ ники разрушения основаны на наличии пласти­ ческой зоны и учитывают пластические свойства материала.

В линейной механике разрушения по сути только один критерий разрушения (3.3.2); в не-

линейной механике разрушения подобных кри­ териев несколько; выбор между ними в значи­ тельной мере субъективен и опирается главным образом на имеющиеся расчетные и эксперимен­ тальные возможности.

Перечислим несколько основных критери­ ев разрушения.

Исторически первым появился критерий разрушения в виде пластического раскрьггия 5 вершины трещины [9]

ô<ôc. (3.3.37)

Здесь раскрытие 5 должно быть представлено для данной формы тела и схемы нагружения через нагрузки, размеры детали и трещины. Справа в условии (3.3.37) стоит критическое раскрытие трещины, находимое эксперимен­ тально.

На основании модели трещины с тонкой пластической зоной для растянутой напряжени­ ем а плоскости получено

где а - окружное напряжение от внутреннего

давления/?, причем G-pD/(2().

Формулу (3.3.38) можно использовать и для тонкостенных труб со сквозными продоль­ ными трещинами, умножив правую часть на корректирующий множитель А/, равный

трубы; / - толщина стенки.

К деформационным критериям разрушения относят также критерий в виде [4]

причем в формулах (3.3.41) и (3.3.42) расчетный предел текучести

По коэффициентам Mrs и Me можно рассчитать распределение напряжений и деформаций в пластической зоне перед трещиной (рис. 3.3.27).

Здесь Me - коэффициент интенсивности дефор­ маций в пластической зоне у вершины трещины, а Мгс - его экспериментально определяемое критическое значение.

Коэффициент Me вычисляют в зависимос­ ти от величины интенсивности номинального напряженияСтщ»^ именно:

при (Уf^^«JJ Me=(K/Gj)P;

^^'т.

(3.3.41) где К - коэффициент интенсивности напряже­ ний; m - показатель упрочнения в степенной аппроксимации диаграммы деформирования материала;

^ / / ^ т = ( ^ / / ^ )^^' при а^>ат, (3.3.42)

Рис. 3.3.27. Эпюры напряжений и деформаций перед вершиной трещины:

/ - упругое асимптотическое решение; 2 - упругое решение вне пластической зоны;

3 - напр51жения в пластической зоне;

4 - деформации в пластической зоне

в котором инвариантный энергетический интег­ рал / (или просто /-интеграл) может быть вы­ числен по одной из двух общих формул: